北京市丰台区2023～2024学年度第二学期综合练习（二） 高三数学参考答案 2024.04 第一部分（选择题 共40分） 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案 C A C B D B A C A D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）1 （12）12 （13）4 （14）①，假；或②，真 （15）②③④ 注：（15）题给出的结论中有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或错选得0分，其他得3分． 三、解答题共6小题，共85分。 （16）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为， 所以． 因为， 所以． ………………6分 （Ⅱ）若选择①②， 在ABC中，， 因为， 所以． 由（Ⅰ）知， 所以， 所以，与矛盾，此时不存在符合题意的ABC． 若选择①③， 在ABC中，由余弦定理， 得， 解得， 所以． 所以． ………………14分若选择②③， 在ABC中，， 因为， 所以． 又因为，， 所以 ． 在ABC中，由正弦定理可得， 所以． ………………14分 （17）（本小题14分） 解：（Ⅰ）连结． 在正四棱柱中， ，． 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． 因为与平面交于点， 所以平面平面． 因为平面， 所以． 所以． 在中，因为点是的中点, 所以点是的中点． ………………5分 （Ⅱ）在正四棱柱中，建立如图所示空间直角坐标系． 设，由，得, 所以. 设平面的一个法向量为， 则, 得 . 令，得，， 所以. 所以. 因为与平面所成角为, 所以， 解得， 所以平面的一个法向量为. 由题可知，平面的法向量为. 因为， 由题可知，二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为． ………………14分 （18）（本小题13分） 解：（Ⅰ）设事件A =“解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同”，则． ………………3分 （Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3. ， ， ， ， 所以，的分布列如下： 0 1 2 3 P ． ………………10分 （Ⅲ）． ………………13分 （19）（本小题14分） 解：（Ⅰ）当时，，； ，； 故切线方程为． ………………4分 （Ⅱ）函数的定义域为； ． ①当时，，的变化情况如下表： ↘ 极小值 ↗ 所以极小值为． 函数有两个零点的必要条件是，解得． 当时，，，从而； 当时，，，当自变量越来越大时，函数的增长速度相对函数的增长速度要慢，从而． 所以时，函数有两个零点． ②当时，，的变化情况如下表： ↘ 极小值 ↗ 极小值为． 函数有两个零点的必要条件是，解得． 当时，，，从而； 当时，，，当自变量越来越大时，函数的增长速度相对函数的增长速度要慢，从而． 所以时，函数有两个零点； 综上所述，的取值范围为． ………………14分 （20）（本小题15分） 解：（Ⅰ）因为动点满足，所以曲线为以点，为焦点的椭圆，且，，即，； 又因为，故． 所以曲线的方程为． ………………5分 （Ⅱ）解法1： 当直线斜率不存在时，，，可求得，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为； 联立得， 设，，， 则，； 直线方程为；直线方程为； 联立 得 ． 解得，可得， 所以点的横坐标为0． ………………15分 解法2： 设直线方程为，联立 得，设，，， 则，； 直线方程为；直线方程为； 联立得； 因为，所以； 所以 ； 得；即，代入，得， 代入，得； 即，得到，； 得． 所以点的横坐标为0． ………………15分 （21）（本小题15分） 解：（Ⅰ）数列的前2项为3，8；数列的前2项为5，11； ………………4分 （Ⅱ）首先，当时，结论成立； 当时，对于相邻的两个数列： 因为都在数列中， 且在之前， 所以 在数列中， 必有， 所以， 所以 所以构成首项为， 公差为1的等差数列， 所以 ………………9分 （Ⅲ）由各个数列生成的规则知，中不可能有两个元素是同一数列的项．从上面的表格，我们猜想： ... ...
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