上海市上海中学东校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 (原卷版+解析版)

2023-2024学年上海市上海中学东校高二年级下学期 期中数学试卷 2024.4 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.直线的倾斜角为_____. 【答案】 【解析】由于直线的斜率为，故它的倾斜角为 2.双曲线的渐近线方程为_____. 【答案】 【解析】由题意知，则渐近线方程为 3.在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是_____. 【答案】4 【解析】抛物线， ， 由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ， ， 4.直线与圆交于、两点，则_____. 【答案】 【解析】圆的圆心到直线的距离， 又圆的半径， 则 5.某公司为了解用电量（单位：与气温（单位：之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表： 气温 18 13 10 用电量 24 34 38 64 由表中数据可得回归方程中．试预测当气温为时，用电量约为 　　． 【答案】68 【解析】，，样本点的中心为， 代入， ， 则线性回归方程为， 取，得 6.若直线，平行，则实数的值为_____. 【答案】或2 【解析】直线，平行， ，求得或2 7.已知直线经过两条直线和的交点，且原点到直线的距离为，则这条直线的方程是_____. 【答案】或 【解析】由，得，交点为，， 原点到直线的距离为，这条直线的斜率存在，设为， 则所求条直线的方程为，即， 由，得或， 所求条直线的方程为：，或， 即，或． 8.抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为_____. 【答案】 【解析】抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合， ，解得， 双曲线的渐近线方程为， 这条双曲线的两条渐近线的夹角为 9.已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】直线经过定点， 直线与连接两点的线段相交， 10.如图，从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点，处的切线垂直于的角平分线．已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】由题意知，椭圆在点，处的切线方程为，且， 切线的斜率为， 而的角平分线的斜率为， 又切线垂直于的角平分线， ，即， 11.已知椭圆的离心率为，上顶点为，左顶点为，，分别是椭圆的左、右焦点，且△的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】△的面积为，， 即， 由已知得，即， 所以，则， 又，所以， 由，，解得，，进而， ， 又， ， ． 即的取值范围为 12.已知实数，满足，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】因为实数，满足， 当，时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分； 当，时，方程为，图象为双曲线在第四象限的部分； 当，时，方程为，图象为双曲线在第二象限的部分； 当，时，方程为，图象不存在， 在同一坐标系中作出函数的图象如图所示， 根据双曲线的方程可知，两条双曲线的渐近线方程都是， 令，即直线与渐近线平行， 当最大时，为图中①的情况，即直线与椭圆相切， 联立方程组，可得， 当直线与椭圆相切时，则有 解得， 又因为椭圆的图象只有第一象限的部分， 故， 当最小值时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值， 此时，则， 综上可得，的取值范围为， 所以的取值范围为，即的取值范围是． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.对于，两变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数（如下），则线性相关最强的是　　 A． B．0 ... ...