2024年高考数学复习专题 练习★★极化恒等式、奔驰定理与等和线定理（3大考点+强化训练）（无答案）

2024年高考数学复习专题 练习★★ 极化恒等式、奔驰定理与等和线定理（3大考点+强化训练） 平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单． 知识导图 考点分类讲解 考点一：向量极化恒等式 极化恒等式：a·b＝2－2. 变式：(1)a·b＝－， a·b＝－. (2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝2－2＝2－2. 规律方法　利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题． 【例1】(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则·的取值范围是_____． 【变式】．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点二:平面向量“奔驰定理” 定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. 易错提醒　利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比． 【例2】（2022·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式1】(2023·重庆模拟)△ABC内一点O满足关系式S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式2】(2023·安阳模拟)如图，已知O是△ABC的垂心，且＋2＋3＝0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于(　　) A．1∶2∶3 B．1∶2∶4 C．2∶3∶4 D．2∶3∶6 考点三:等和(高)线定理 等和(高)线 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 规律方法　要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线． 【例3】．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ） A． B．2 C． D．1 【变式3】已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 A． B． C． D． 强化训练 一、单选题 1．如图，是圆O的直径，P是圆弧上的点，M、N是直径上关于O对称的两点，且，则（ ） A．13 B．7 C．5 D．3 2．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 3．设向量满足， ，则= A．1 B．2 C．3 D．5 4．已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ） A． B． C． D． 6．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 7．在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．在中，点是线段上的点，且满足，过 ... ...