2024年高考数学复习专题 练习★★ 极值点偏移问题（2大考点+强化训练） 极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色． 【知识导图】 【考点分析】 考点一:对称化构造函数 规律方法 对称化构造函数法构造辅助函数 (1)对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)． (2)对结论x1x2>x型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成ln x1＋ln x2>2ln x0，再把ln x1，ln x2看成两变量即可． 【例1】（2024下·云南·高二云南师大附中校考开学考试）给出定义:设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称)为函数的“拐点”. (1)经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值. (2)已知函数，其中. （i）求的拐点； （ii）若，求证:. 【变式】（2024下·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间； (2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：. 考点二:比值代换 规律方法 比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 【例2】．（2022·全国·模拟预测）设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 【变式】（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个零点，，且，求证：． 【强化训练】 1．（2024·广东湛江·统考一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 2．（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）已知函数. (1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数有两个极值点,证明：. 3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.若有两个零点，证明：. 4.(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝xe2－x. (1)求f(x)的极值； (2)若a>1，b>1，a≠b，f(a)＋f(b)＝4，证明：a＋b<4. 5. (2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝－ln x＋x－a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1. 6. (2023·沧州模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax－1(a∈R)．若方程f(x)＋2＝0有两个实根x1，x2，且x2>2x1，求证：x1x>.(参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099) 7. (2023·淮北模拟)已知a是实数，函数f(x)＝aln x－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个相异的零点x1，x2且x1>x2>0，求证：x1x2>e2. 8．(2023·南宁模拟)已知函数f(x)＝ex－，a>0. (1)若f(x)过点(1,0)，求f(x)在该点处的切线方程； (2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且0
2. 9．(2023·聊城模拟)已知函数f(x)＝ln x＋(a∈R)，设m，n为两个不相等的正数，且f(m)＝f(n)＝3. (1)求实数a的取值范围； (2)证明：a2
