2024年高考数学复习专题 练习★★ 同构函数问题（2大考点+强化训练） 同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维．同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大． 【知识导图】 【考点分析】 考点一：双变量同构问题 规律方法 含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题． 【例1】已知函数. (1)若函数的图像在点处的切线方程为，求函数的极小值； (2)若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式1】设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若存在两个极值点，，证明：． 【变式2】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 考点二：指对同构问题 规律方法 指对同构的常用形式 (1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)＝xex； ②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x； ③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln(b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x. (2)商型：≤，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：≤，构造函数f(x)＝； ②同右构造形式：≤，构造函数f(x)＝； ③取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(b>1)，构造函数f(x)＝x－ln x. (3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x； ②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x. 考向1：指对同构与恒成立问题 【例2】若不等式e(m－1)x＋3mxex≥3exln x＋7xex对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是_____. 【变式1】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 A．， B．， C．， D．， 【变式2】已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值为 A． B． C． D． 考向2 指对同构与证明不等式 【例3】 已知函数f(x)＝2ax＋bx－1－2ln x(a∈R).当x＞y＞e－1时，求证：exln(y＋1)＞eyln(x＋1). 【变式】. 已知函数f(x)＝x－ln x， (1)求函数f(x)的单调性； (2)当x＞，证明：≥e＋1； (3)若不等式x＋aln x＋≥xa对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的最小值. 【强化训练】 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ） A．7 B．8 C．5 D．11 4．（2023·安徽淮南·统考一模）已知两个实数、满足，在上均恒成立，记、的最大值分别为、，那么 A． B． C． D． 5．(2023·南宁模拟)已知α，β∈R，则“α＋β>0”是“α＋β>cos α－cos β”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知x∈N，y∈N，x
2b B．a<2b C．a>b2 D．ae B．b>ea C．ab C．a>b3 D．a
