2024年高考数学复习专题 练习★★隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形（3大考点+强化训练）（无答案）

2024年高考数学复习专题 练习★★ 　隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形（3大考点+强化训练） 在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档． 知识导图 考点分类讲解 考点一　隐圆(阿波罗尼斯圆) “阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆． 规律方法　对于动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹． 【例1】(多选）（2023·贵州铜仁·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（且）的点的轨迹是圆”．人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足．设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ） A．轨迹C的方程为 B．轨迹C与圆M：有两条公切线 C．轨迹C与圆O：的公共弦所在直线方程为 D．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线 【变式1】（2023·四川成都·模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·四川成都·模拟预测）已知平面上两定点，则所有满足且的点的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为6的正方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【变式3】(多选)在平面直角坐标系中，A(－1,0)，B(2,0)，动点C满足＝，直线l：mx－y＋m＋1＝0，则(　　) A．动点C的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4 B．直线l与动点C的轨迹一定相交 C．动点C到直线l距离的最大值为＋1 D．若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且|PQ|＝2，则m＝－1 考点二　蒙日圆 在椭圆＋＝1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆． 设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点． 性质1　PA⊥PB. 性质2　kOP·kAB＝－. 性质3　kOA·kPA＝－，kOB·kPB＝－(垂径定理的推广)． 性质4　PO平分椭圆的切点弦AB. 性质5　延长PA，PB交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB. 性质6　S△AOB的最大值为，S△AOB的最小值为. 性质7　S△APB的最大值为，S△APB的最小值为. 规律方法　蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广 双曲线－＝1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2＋y2＝a2－b2(只有当a>b时才有蒙日圆)． 抛物线y2＝2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x＝－(可以看作半径无穷大的圆)． 【例2】（23-24高三上·安徽·期末）法国数学家蒙日发现椭圆两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴和短半轴的平方和．如图所示为稀圆及其蒙日圆，点均为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，若与的面积比为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（2024·山西吕梁·一模）画法几何的创始人———法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆分别为椭圆的左、 ... ...