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课件网) 第七章 立体几何与空间向量 第九节 空间向量的应用(空间角的求法) 内容索引 学习目标 核心体系 活动方案 备用题 学 习 目 标 掌握用空间向量的方法求空间角． 核 心 体 系 活 动 方 案 活动一 基础训练 1. (2023江苏高二专题练习)如图，已知P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，F为PC的中点，则二面角C－BF－D的正切值为( ) 【分析】 设AC∩BD＝O，连接OF，以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，即可得出结果． 【答案】 D 2. (2023宿迁沭阳高级中学校考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，AB＝4，AA1＝6.若E是棱BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为( ) 【答案】 A 3. (2023江苏高二专题练习)如图，在三棱锥P－ ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC，PA＝2AB，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( ) 【分析】 建立如图所示的空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量可求线面角的正弦值． 【答案】 B 【分析】 根据圆柱的特征，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，根据题意可得OA＝OB，OA⊥AC，利用向量法即可求出答案． 【答案】 A 【分析】 以A为坐标原点建立空间直角坐标系，表示出相应的点的坐标，利用向量夹角公式求解． 【答案】 A 活动二 典型例题 题组一 异面直线所成的角 1 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为_____. 题组二 直线与平面所成的角 如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1) 求证：AC⊥B1D； (2) 求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值． 2 题组三 二面角 3 (1) 求证：BC1∥平面A1CD； (2) 求二面角D－A1C－E的正弦值． 在本例的条件下，求平面A1AD与平面A1EC所成二面角的大小． 备 用 题 1. (多选)(2023江苏高二专题练习)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论中正确的是( ) A. 直线BD1⊥平面A1C1D B. 三棱锥P－A1C1D的体积为定值 2 4 1 3 【分析】 对于A，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；对于B，根据线面平行的判定定理，平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；对于C，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；对于D，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可． 2 4 1 3 【解析】 对于A，因为A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，且B1D1 平面BB1D1，BB1 平面BB1D1，所以A1C1⊥平面BB1D1，又BD1 平面BB1D1，所以A1C1⊥BD1，同理可得DC1⊥BD1，因为A1C1∩DC1＝C1，A1C1 平面A1C1D，DC1 平面A1C1D，所以直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；对于B，因为A1D∥B1C，A1D 平面A1C1D，B1C 平面A1C1D，所以B1C∥平面A1C1D.因为点P在线段B1C上运动，所以点P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，所以三棱锥P－A1C1D的体积为定值，故B正确；对于C，因为A1D∥B1C，所以异面直线AP与A1D所成角为直线AP与直线B1C的夹角．易知△AB1C为等边三角形，当P为B1C的中点时，AP⊥B1C；当点P与点B1或C重合时，直 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 【答案】 ABD 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 【答案】 BC 2 4 1 3 【分析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设D(0，t,2)(－1≤t≤1)，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，即可得到方程，解得t，从而得解． 2 4 1 3 2 4 1 3 4. (2023苏州高一联考)在矩形ABCD ... ...
