重庆市璧山中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（含解析）

重庆市璧山中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷 学校：_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、选择题 1．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有( ) A.3种 B.504种 C.24种 D.12种 2．已知函数，则( ) A. B.0 C. D.2 3．若A，B，C，D，E，F六人站队照相，要求A B相邻且C D不相邻，则所有不同的站法有( ) A.36 B.72 C.108 D.144 4．的展开式中的系数为( ) A. B.60 C.750 D.1215 5．现有6个评优名额要分配给3个班级，要求每班至少一个名额，则分配方案有( ) A.8种 B.10种 C.18种 D.27种 6．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为( ) A.36 B.400 C.420 D.480 7．已知，则的值为( ) A. B.0 C.1 D.2 8．若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为( ) A.2 B. C.3 D. 二、多项选择题 9．下列求导正确的是( ) A. B. C. D. 10．若m，n为正整数且，则( ) A. B. C. D. 11．关于函数，，下列说法正确的是( ) A.若过点可以作曲线的两条切线，则 B.若在R上恒成立，则实数k的取值范围为 C.若在上恒成立，则 D.若函数有且只有一个零点，则实数t的范围为 三、填空题 12．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为_____. 13．方程中的解_____. 14．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前n项和，则_____. 四、解答题 15．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32. (1)求n的值； (2)求展开式中的系数. 16．已知. (1)求函数的平行于的切线方程； (2)求的单调性. 17．已知函数. (1)若，当时，证明：. (2)若，证明：恰有一个零点. 18．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，若是的极小值点，求实数a的取值范围. 19．设函数， (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，曲线与有两条公切线，求实数a的取值范围； (3)若对恒成立，求实数m的取值范围. 参考答案 1．答案：C 解析：从书架上取一本书，由分类加法计数原理可知，不同的取法共有种. 故选：C. 2．答案：A 解析：由题意得，所以.故A正确. 故选：A. 3．答案：D 解析：由于A B相邻捆绑再一起有种方法， 再与E，F一起安排有种方法，最后插空安排不相邻的C D有种方法， 根据分步乘法计数原理可得所有不同的站法有种. 故选：D. 4．答案：D 解析：的展开式通项为， 令，解得，所以的系数为. 故选：D. 5．答案：B 解析：现有6个评优名额要分配给3个班级，要求每班至少一个名额， 利用隔板法，把6个元素排成一列形成5个空，再在5个位置放置2个隔板， 则共有种方案， 故选：B. 6．答案：C 解析：根据题意，分4步进行分析： ①，对于区域A，有5种颜色可选； ②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选， 则区域D、E有种选择， 则不同的涂色方案有种； 故选：C. 7．答案：B 解析：因为，展开式第项， 当时，，当时，， 故，即. 故选：B. 8．答案：B 解析：由题意得，，即， 令，因为，所以函数在上单调递增， 则不等式转化为，所以，则. 令，则， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，有最小值，即，则 ... ...