2023-2024学年数学北师大版七年级下册 第四章第05讲模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型 同步学与练（含解析）

第05讲 模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型（8类热点题型讲练） 目录 【模型一 平移型模型】 【模型二 轴对称型模型】 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 【模型四 一线三等角模型】 【模型五 三垂直模型】 【模型六 旋转型模型】 【模型七 倍长中线模型】 【模型八 截长补短模型】 【模型一 平移型模型】 例题：（2023上·福建福州·八年级统考期末） 1．如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：． 【变式训练】（2023秋·浙江·八年级专题练习） 2．如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：． （2024上·新疆和田·八年级统考期末） 3．如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【模型二 轴对称型模型】 例题：（2024上·云南昆明·八年级统考期末） 4．线段、相交于点，，，求证：． 【变式训练】 （2023·湖南益阳·统考一模） 5．如图，点D在上，点E在上，，．求证：． （2024上·山西阳泉·八年级统考期末） 6．如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数． 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 例题： 7．如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，． (1)若，，求四边形AECF的面积； (2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【变式训练】 8．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF． (1)试说明：DE=DF： (2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论． (3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？ 【模型四 一线三等角模型】 例题：（2023春·七年级课时练习） 9．【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：． 【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ． 【变式训练】 10．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题： ①如图1，若，，求证：； ②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论； (2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明． （2024上·湖南株洲·八年级校联考期末） 11．（1）如图①，已知∶中，，直线经过点于于，求证∶； （2）拓展∶如图②，将（1）中的条件改为∶中，三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用∶如图③，在中，是钝角，，，直线与BC的延长线交于点，若的面积是12，求与的面积之和． 【模型五 三垂直模型】 例题：（2023上·辽宁大连·八年级统考期中） 12．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【变式训练】 13．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． （2024上·吉林辽源·九年级统考期末） 14．如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C ... ...