2024年中考数学复习-三角形常考模型专题归纳汇总 学案

三角形常考模型专题归纳汇总 1、8字模型 类型 图示 模型分析 结论 角的8字模型 如图所示: AC、BD相交于O, 连接AD、BC。 ∠A+∠D=∠B+∠C ∵ ∠A+∠D+∠AOD=180° ∠B+∠C+∠BOC=180° 又∵∠AOD=∠BOC ∴ ∠A+∠D=∠B+∠C ①因为这个图形像数字8， 所以我们把这个模型称为8字模型； ②8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。 边的 8字 模型 如图所示: AC、BD 相交于O, 连接AD、BC。 AC+BD>AD+BC ∵ OA+OD>AD ① OB+OC>BC ② 由①+②得 OA+OD+OB+OC>AD+BC 即 AC+BD >AD+BC 拓展模型 已知: EC与BD相交于点O, 点 A在OE上,连接AB、CD、BE; ∠OAB+∠OBA =∠C+∠D =∠E+∠OBE 已知: AC、AD与 BE 分别相交于点 G、F, 连接BC、DE; ∠B+∠C+∠D+∠E=180°+∠A 中小学教育资源及组卷应用平台 2、燕尾模型 类型 图示 模型分析 结论 角的燕尾模型 已知四边形ABDC (凹四边形) ∠D=∠A+∠B+∠C 简记： 凹角等于凸角之和； 证法1: 如图, 做射线AD ∵ ∠3 是ΔABD的外角 ∴ ∠3=∠B+∠1 ∵ ∠4是ΔACD 的外角 ∴∠4=∠C+∠2 ∴∠BDC=∠3+∠4 =∠B+∠1+∠C+∠2 ∴ ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C 证法2: 如图, 连接 BC ∵ ∠2+∠4+∠BDC=180° ∴ ∠BDC=180°-(∠2+∠4) ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180° ∴ ∠A+∠1+∠3=180°-(∠2+∠4) ∠BDC=∠A+∠1+∠3 边的燕尾模型 如图: 延长BD 交AC 于点E ∵ AB+AC=AB+AE+EC AB+AE>BE ∴ AB+AC>BE+EC ① ∵ BE+EC=BD+DE+EC DE+EC>CD ∴ BE+EC>BD+CD ② 由①②可得 AB+AC>BD+CD AB+AC>BD+CD 类型 图示 模型分析 结论 燕尾模型 重点： 同底边时， 三角形面积之比等于高之比， 能想到做高辅助线； 已知: ΔABC中, 点 D、E、F分别在BC、AC、AB上,AD、BE、CF相交于同一点O; ①S△AOB: S△AOC=BD: CD ②S△AOB: S△COB=AE:CE ③S△AOC: S△BOC=AF:BF 证明： 过B点作 BG⊥AD于点G, 过C 点作 CH⊥AD 于点H, ∵ S△AOB: S△AOC=(AO·BG):(AO·CH)=BG: CH (同底边时， 三角形面积之比等于高之比) 易证ΔBGD~ΔCHD . BG _BD/CD ∴ ①S△AOB: S△AOC=BD: CD 同理可证: ②S△AOB: S△COB=AE: CE ③S△AOC: S△BOC=AF:BF 3、风筝模型 类型 图示 模型分析 结论 风筝模型 已知: ∠DAE, 点B、C分别为 AD、AE上一点,点F为∠DAE内部一点,连接BF、CF; ∠DBF+∠ECF=∠A+∠F (应用三角形外角和定理) 已知: 四边形 ABCD中, 连接AC、BD交于点O, 记: ΔAOD 的面积为 S , ΔAOB的面积为 S , ΔBOC 的面积为 S , ΔCOD的面积为 S ; ①S :S =S :S ②S ·S =S ·S ③AO:CO =S :S =S :S =(S +S ):(S : S ) (比例的等比性质) 重点： 高相同时， 三角形面积之比等于边之比。 4、角平分线四大模型 类型 模型 图示 模型分析 角平分线上的点向两边作垂线 如图, P是∠MON 的角平 分线上一点， 过点P作 PA⊥OM 于点A, PB⊥ON于点 B; 利用角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等。 构造模型为 边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件。 结论: PA=PB, RtΔAOP≌RtΔBOP 截取构造轴对称全等 如图, P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点， 在ON 上截取OB=OA, 连接PB。 利用角平分线图形的对称性， 在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 结论: ΔOPA≌ΔOPB 角分线+ 垂线段构造 等腰三角形 如图, P是∠MON 的平分线上一点, AP⊥OP于P点,延长AP交ON于点B。 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”， 也可以得到两个全等的直角三角形， 进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系在一起。 结论: OP为ΔAOB的高线、中线, ΔAOB是等腰三角形, RtΔAOP≌RtΔBOP 角平分线+平行线构造等腰三角形 如图, P是∠MON ... ...