2023-2024学年福建省厦门二中高一（下）第一次段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是虚数单位，则( ) A. B. C. D. 2.已知平面向量满足且，则( ) A. B. C. D. 3.记的内角，的对边分别为，，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点，为了测量建筑物高度，我们选择一条水平基线，使，，三点在同一直线上，经测量，在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，，米，测角仪器的高是米，则该建筑物的高约为参考数据：( ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5.数学家欧拉于年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点，，分别为任意的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是( ) A. B. C. D. 6.我国油纸伞的制作工艺非常巧妙如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动如图，伞完全收拢时，伞圈已滑到的位置，且，，三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是( ) A. B. C. D. 7.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为( ) A. B. C. D. 8.已知是边长为的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为( ) A. 若，则 B. 若在复平面所在直线上，则 C. 若为纯虚数，则 D. 若在第四象限，则 10.如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形已知正八边形的边长为，，为正八边形内的点含边界，在上的投影向量为，则下列结论正确的是( ) A. B. C. 的最大值为 D. 11.东汉末年的数学家赵爽在周骳算经中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，对于图，下列结论正确的是( ) A. 这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若是的中点，则三角形的面积是三角形面积的倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.请写出与向量反向的单位向量：_____用坐标表示 13.已知平面向量，，若与共线，则实数 _____． 14.在中，为上一点，，，则 _____；若，则 _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量，，且与的夹角为． 求及； 求在上的投影向量的坐标． 16.本小题分 中，已知，，，、分别是、的中点，设，， 分别用、表示和； 设与交于点，求的余弦值． 17.本小题分 记内角，，的对边分别为，，已知，点在边上，C. 证明： 若，求． 18.本小题分 如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，设，，，． Ⅰ化简：； Ⅱ求证：为定值； Ⅲ设的面积为，的面积为，求的取值范围． 19.本小题分 中，内角，，所对的边分别为，，已知． 求的值； 若是的角平分线． 证明：； (ⅱ)若，求的最大值． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解： 故选：． 利用复数的四则运算法则即可得出结论． 本题考查了复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2.【答案】 【解析】解：， ， ，即 ... ...
