专题 5.1 矩形 知识讲解+变式训练 原卷+解析版

中小学教育资源及组卷应用平台 专题 5.1 矩形 知识讲解+变式训练 【要点梳理】 要点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 特别说明：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 特别说明：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 要点三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 特别说明：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 要点四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 特别说明：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【典型例题】 类型一、矩形的理解 1．求作：矩形ABCD，使它的对角线，且对角线夹角为60°． 【分析】作线段AC的垂直平分线交AC于点O，作等边△AOB，延长BO，截取OD=OB，连接BC，CD，AD即可． 解：如图，四边形ABCD即为所求作． 【点拨】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 举一反三： 【变式】如图，在平行四边形中，是直线上的两点，； （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，且，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）连接交于点，利用平行四边形的性质证明，，再证明，从而可得结论； （2）利用勾股定理先求解，可得，再求解，结合矩形的性质可得，从而可得答案. 证明：（1）连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2），，， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ． 【点拨】本题考查的是平行四边形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键. 类型二、利用矩形的性质求角 2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）DF⊥AC，若∠ADF∶∠FDC＝2∶1，则∠BDF的度数是多少？ 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论； （2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数． 解：（1）， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴， ∴四边形ABCD是矩形． （2）∵，， ∴， ∵DF⊥AC， ∴， ∵OC＝OD， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键.注意：矩形的对角线相等， ... ...