解析几何中的向量共线问题 常见考点 考点一 向量共线问题 典例1．如图，分别是椭圆C：的左，右焦点，点P在椭圆C上，轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，. (1)求椭圆C的方程； (2)已知M，N是椭圆C上的两点，若点，，试探究点M，，N是否一定共线？说明理由. 【答案】(1) (2)不一定共线，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由椭圆定义可得a，利用∽△BOA可解； （2）考察轴时的情况，分析可知M，，N不一定共线. (1) 由题意得，， 设，， 代入椭圆C的方程得， ，可得. 可得. 由，，所以∽△BOA， 所以，即，可得. 又，，得. 所以椭圆C的方程为. (2) 当轴时，，设，， 则 由已知条件和方程，可得， 整理得，， 解得或. 由于，所以当时，点M，，N共线； 所以当时，点M，，N不共线. 所以点M，，N不一定共线. 变式1-1．已知椭圆：的长轴长为6，离心率为，长轴的左，右顶点分别为A，B． (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线交椭圆于M、N两个不同的点，直线AM，AN分别交轴于点S、T，记，（为坐标原点），当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的长轴和离心率，可求得 ，进而得椭圆方程； （2）先判断直线斜率为正，然后设出直线方程，和椭圆方程联立，整理得根与系数的关系，利用直线方程求出点S、T的坐标，再根据确定 的表达式，将根与系数的关系式代入化简，求得结果. (1) 由题意可得： 解得：，所以椭圆的方程： (2) 当直线l的倾斜角为锐角时，设， 设直线， 由得， 从而，又，得， 所以， 又直线的方程是：，令， 解得，所以点S为； 直线的方程是：，同理点T为· 所以， 因为，所以， 所以 ． ∵，∴， 综上，所以的范围是． 变式1-2．已知抛物线，过点的直线与x轴交于点M，与C交于两点A B O为坐标原点，直线BO与直线交于点N. (1)若直线AN平行于y轴.求m； (2)设 ，求. 【答案】(1)； (2) 【解析】 【分析】 （1）由题意，设直线的方程为，求得的坐标，再将直线与抛物线联立，由直线AN平行于y轴，可得，结合韦达定理即可求解. （2）利用向量的坐标运算即可求解. (1) 由题意知直线的斜率存在且不为0，设其方程为 令，解得，故 设 联立，整理得 其中，，，则 直线的方程为 令，解得，则 若直线AN平行于y轴，则，即，解得. (2) ，，， 若，则，则，即 同理可得 变式1-3．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点A作倾斜角为的直线与C相交于A，B，且，其中O为坐标原点． (1)求椭圆的离心率e； (2)若，过点F作与直线平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点． ①求的值； ②点M满足，直线与椭圆的另一个交点为N，若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②. 【解析】 【分析】 （1）根据，求得点B得到坐标，代入椭圆方程求解； （2）①易知椭圆方程为：，设直线方程为：， 与椭圆方程联立，结合韦达定理，由求解；②设，根据，得到，由，得到，根据P，Q，N在椭圆上，将点的在坐标代入椭圆方程化简求解. (1) 解：由题意得：， 所以，代入椭圆方程得，即， 所以椭圆的离心率是； (2) ①由（1）知：b=1, ，则椭圆方程为：， 设直线方程为：， 与椭圆方程联立，消去x得， 设， 则， 则， ， 所以； ②设，因为，所以， 则， 因为， 所以，则， 因为P，Q，N在椭圆上， 所以， 则， 即， 由①知， 所以，解得. 典例2．已知椭圆的左 右顶点分別为，右焦点为F（1，0），且椭圆C的离心率为，M，N为椭圆C上任意两点，点P的坐标为（4，t）（t≠0），且满足. (1)求椭圆C的方程； (2)证明：M，F，N三点共线. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的焦点坐标及离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可. （2）设，由题设易知共线，共线，利用向量共线的坐标 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
