立体几何中的体积表面积问题 常见考点 考点一 体积问题 典例1．已知长方体，，分别为和的中点，． (1)求三棱锥体积； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由平面，可得结合题干条件，即得解； （2）先证明平面，平面，结合面面平行的判断定理，即得证 (1) 由题意可知：平面，，为的中点， ，， ， ； (2) ∵ABCD-A1B1C1D1是长方体 ∴AD//BC且AD=BC ∵点E、F分别为CC1和BB1的中点 ∴EF//BC且EF=BC ∴AD//EF且AD=EF ∴四边形ADEF是平行四边形 ∴AF//DE ∵平面，平面 ∴平面 又，分别是线段，的中点 平面，平面 平面 又 平面平面． 变式1-1．在五面体EF﹣ABCD中，正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直，四边形 ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝AB． (1)求证：AC⊥BF； (2)若三棱锥A﹣BCE的体积为，求线段AB的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)AB＝4 【解析】 【分析】 （1）取AB中点O，连CO，通过证明FC⊥面ABCD，得到FC⊥AC，再结合AC⊥BC可得答案； （2）利用可得答案. (1) 证明：取AB中点O，连CO． ∵AD＝DC＝BC＝AB，AB∥CD， ∴四边形AOCD为菱形，∴CO＝OA＝OB，∴△OCB为正三角形， ∴AC⊥BC， ∵正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直， ∴FC⊥面ABCD，AC 面ABCD， ∴FC⊥AC． BC∩FC＝C，∴AC⊥面BCF， ∵BF 面BCF，∴AC⊥BF． (2) 解：设BC＝x，则AB＝2x，由勾股定理得AC＝， 由（1）可知ED⊥面ABCD， 故， 即，解得x＝2． ∴AB＝4． 变式1-2．如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点. (1)证明：； (2)若是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)4. 【解析】 【分析】 （1）证明平面BCD，原题即得证； （2）过点E作交BD于N.过点N作交BC于点M，连接ME，求出，即得三棱锥的体积. (1) 证明：∵，O为BD中点，∴， 因为平面ABD，平面平面BCD，且平面平面， ∴平面BCD，∵平面BCD，∴. (2) 解：过点E作交BD于N.过点N作交BC于点M，连接ME， 因为且由（1）知平面BCD， 所以平面BCD， ∵平面BCD，∴ 在△BCD中，∵，∴， 因为 ，∴，∴平面MNE ∴ ∴为所求的二面角的平面角， ∴，∴ ∵，，∴， 因为，∴， ∵，∴.∴，∴. ∴ ∴. 变式1-3．如图①，在平面五边形SBCDA中，ADBC，AD⊥AB，AD=2BC=2AB，将△SAB沿AB折起到P的位置，使得平面PAB⊥底面ABCD，如图②，且E为PD的中点. (1)求证：CE平面PAB； (2)若PA=PB=6，AB=4，求三棱锥A-BCE的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）设F为PA的中点，连接EF，FB，证明四边形BCEF为平行四边形，然后根据线面平行的判定定理进行证明即可； （2）设O为AB中点，连接PO OD，过E作EHPO交OD于点H，然后根据 进行求解即可. (1) 证明：设F为PA的中点，连接EF，FB， ∵E为PD的中点，∴EFAD且EF=AD， 又∵ADBC且AD=2BC， ∴EFBC且EF=BC， ∴四边形BCEF为平行四边形， ∴CEBF， 又∵BF平面PAB，CE平面PAB， ∴CE平面PAB； (2) 如图，设O为AB中点，连接PO OD，过E作EHPO交OD于点H， ∵PA=PB=6，AB=4， ∴PO⊥AB，即， 又∵平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB底面ABCD=AB， ∴PO⊥底面ABCD， 又∵EHPO，∴ EH⊥底面ABCD， ∴EH是三棱锥E-ABC的底面ABC上的高，且， 又∵ADBC，AD⊥AB，BC=AB， ∴AB⊥BC，S△ABC=AB BC×4×4=8， 所以. VA-BCE=VE-ABC= S△ABC EH=×8×. 考点二 表面积问题 典例2．如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： （1）正四棱锥的表面积； （2）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值：若不存在，试说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，2. 【解析】 【分析】 （1）根据棱锥的表面积的计算公式即可求出结果； （2）分析可得在侧棱上存在一点，使平 ... ...
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