数列中的恒成立与能成立问题 常见考点 考点一 恒成立问题 典例1．已知正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，且. (1)证明是等差数列； (2)数列的前n项和为，若对任意，恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）先求出当时，将中的换成，然后两式相减，可得，再换成，再相减可得从而可证. （2）由（1）可知，即得到，由裂项相消法求和可得答案. (1)当时，，则，解得. 当时，因为，所以， 两式相减得，即. 又满足，所以，. 所以，两式相减得. 所以，又数列的各项为正数，所以， 所以是首项为1，公差为2的等差数列. (2)由（1）可知，，. 则， . 所以m的取值范围为. 变式1-1．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列的通项公式和等比中项，建立方程，求出等差数列的公差为，进而求出数列的通项公式； （2）根据（1）求出，根据错位相减求出，根据题意可知，再根据为偶数和奇数两种情况求解，根据数列的单调性，即可得到结果. (1) 解：设等差数列的公差为，且，，成等比数列， 则，即，又，解得， 所以; (2) 解：因为， 设， ①， ②， ①-②：， ，. 则，得， 当为偶数时，，又单调递增，当时，最小， 即，即； 当为奇数时,，又单调递减，当时，最大， 即，即； 所以. 变式1-2．已知数列和满足，，. (1)求与； (2)设的前n项和为，若不等式，对一切都成立，求实数的最小值. 【答案】(1)，； (2). 【解析】 【分析】 (1)根据给定条件利用累加法，结合等比数列前n项和公式计算得，再借助前n项和第n项的关系推理计算作答. (2)由(1)求出，变形给定不等式，再分奇偶讨论计算作答. (1) 依题意，当时，，则 ， 而满足上式，故有； ，，当时，， 两式相减得：，则，而，满足上式，即有， 所以，. (2) 由(1)知，， 两边同乘-2得：， 两式相减得：， ，由得：， 依题意，对一切，都成立， 当n为正奇数时，，而数列是递增数列，当时，，则， 当n为正偶数时，，解得，因此，， 所以实数的最小值. 变式1-3．已知数列的前n项和为，满足，． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，为数列的前n项和， ①求； ②若不等式对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2)①；② 【解析】 【分析】 （1）由得到，即可得到，从而得证，即可求出的通项公式，从而得到的通项公式； （2）①由（1）可得，再利用错位相减法求和即可； ②利用作差法证明的单调性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可； (1) 证明：由，，当时，可得，解得， 当时，， 又，两式相减得， 所以，所以，即， 则数列是首项为，公比为的等比数列； 所以，所以 (2) 解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以 整理得 ②由①知，所以，即单调递增，所以，因为不等式对任意的正整数n恒成立，所以，即，解得或，即 考点二 能成立问题 典例2．在①，，，成等比数列；②；；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知是递增的等差数列，前n项和为，且___. (1)求数列的通项公式； (2)设，是否存在，使得取得最大值？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1). (2)存在，，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据所选条件，利用等比中项的性质求基本量，写出通项公式；应用等差数列通项公式，结合已知求基本量，写出通项公式；根据关系求通项公式. （2）根据所得通项公式可知有，有，由题设讨论确定的值及符号，即可判断存在性. (1) 是递增的等差数列，若 ... ...
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