2024年中考数学复习探究性试题---图形的相似（含解析）

2024年中考数学复习探究性试题--图形的相似 一．解答题（共15小题） 1．【问题呈现】 如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． 【类比探究】 如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD，CE．则　 　． 【拓展提升】 如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且，连接BD，CE． （1）求的值． （2）延长CE交BD于点F，交AB于点G，求cos∠BFC的值． 2．已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为线段BC上一点，连接AD． （1）如图1所示，在AD右侧作等腰△ADE，其中AD＝AE，∠DAE＝120°．当EC＝3，AB＝4时，求AD的值； （2）如图2所示，在AD右侧作等边△ADE，连接BE，点G是BC上一点，连接AG并延长交BE于点F，若∠ADG＝∠GAE，猜想线段DG与GF之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）在AD取得最小值的条件下，点M是线段BC上一点，将△ABM沿AM翻折得到△AB′M，连接DB′，点N为DB′的中点，连接CN．当CN的值最小时，连接AN，请直接写出此时的值． 3．综合与实践 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“相似”主题下设计的问题，请你解答 【问题情境】 在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，∠ADE＝∠B，DE与AC交于点E． 【初步探究】 （1）如图1，若DE∥AB，EF⊥AD于点F． ①求证AB2＝BD BC． ②求的值． 【拓展延伸】 （2）如图2，G是DE延长线上一点，若GA⊥AD，GD＝GC已知AB＝10，BC＝16，求BD的长． 4．问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明． 尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：； 应用拓展： （2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处． ①若AC＝2，AB＝4，求DE的长； ②若BC＝m，∠C＝α，求DE的长（用含m、a的式子表示） 5．如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝8cm，BC＝3cm，CD＝4cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），（0＜t＜5）． （1）用含t的代数式表示AP； （2）当以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值； （3）如图（2），延长QP，BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，求t的值． 6．嘉淇做数学探究实验，如图，已知：△ABC，△OPQ均为直角三角形，其中，现以AC为边作四边形ACDE，且∠CAE＝60°，∠D＝90°，CD＝DE，点B，C，D在一条直线上． 第一步，如图1，将△OPQ的顶点O与点A重合，AB在OP上； 第二步，如图2，将△OPQ绕点O逆时针方向旋转，每秒旋转15°，OP，OQ分别与BC边交于点M，N； 第三步，如图3，当△OPQ旋转到点P落在CD上时停止旋转，此时点Q恰好在AE上； 第四步，如图4，在第三步的基础上，点O带动△OPQ立即沿边AE从点A向点E平移，每秒个单位长度，当点O与点E重合时停止运动，设整个过程中△OPQ的运动时间为t s． （1）如图1，①BC 　 　OP；②点A到直线BD的距离是 　 　； （2）如图2，求证△ABN∽△MCA； （3）如图3，当△OPQ从初始位置到点P落在CD上时，求BP的长度； （4）当点P落在四边形ACDE的边上时，直接写出对应t的值． 7．如图1，在矩形ABCD中，，点E，G分别是AD，AB上的中点，过点E，G分别作EF⊥AD，FG⊥AB，FG与EF交于点F，连接CF． 特例感知 （1）以下结论中正确的序号有 　 　； ①四边形AGFE是矩形；②矩形ABCD与四边 ... ...