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课件网) 第14章 数学活动 年 级：八年级 学 科：初中数学（人教版） 活动1 (1)15×15=1×2×100+25=225; (2) 25×25=2×3×100+25=625; (3) 35×35=3×4×100+25=1225; (4) … 观察以下式子，你能写出一般规律吗？你能用本章知识证明你的结论吗？ 一、数学活动，相互交流 类比推导分析，让学生自主归纳，并猜想和验证. 使拥有用数学的眼光审视问题的习惯，有用数学的思维分析问题的能力. 观察以上式子，试写出一般规律，并证明它. 交流 (1)15×15=1×2×100+25=225; (2) 25×25=2×3×100+25=625; (3) 35×35=3×4×100+25=1225; (4) … ； n×（n+1)×100+25 = 100n2 +100n+25 答： (10n+5) (10n+5) = 100n2 +2×5×10n+25 ∴(10n+5) (10n+5)=n×（n+1)×100+25 活动2 （1）计算下列两个数的积，你有什么发现？ 53×57； 38×32； 84×86； 71×79； 3021； 1224； 7224； 5609 （2）你能用本章所学知识解释这个规律吗？ （3）利用你发现的规律计算： 58×52；63×67； 分析: a+b=10 n×（n+1)×100+a·b= 100n2 +100n+a·b (10n+a) (10n+b) =100n2 +(a+b)×10n+a·b ∴(10n+a) (10n+b)=n×（n+1)×100+a·b对比前两式成立 以上4式结果分别为：3021； 1224； 7224； 5609 交流 答： ∵(10n+a) (10n+b)=n×（n+1)×100+a·b， ∴ （3）中四式的结果分别为： 3016； 4221； 5625； 9025. （3）利用你发现的规律计算： 58×52； 63×67；752； 952； 答： 1·a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1·b5 ：观察下列展开式的系数或常数 (1)（a+b) 0= 1; (2) (a+b)1= 1·a+1·b (3) (a+b)2= 1·a2+2ab+1·b2 (4) (a+b)3= (a+b)2 (a+b) =1·a3+3a2b+3ab2+1·b3 (5) (a+b)4=… =1·a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1·b4 求(a+b)5展开后各项的系数； 活动3 求(a+b)6展开式中a3b3项的系数，并验证你的结果. 归纳 验证 答： 20，∵ (a+b)6 = (a+b)3(a+b)3=（1·a3+3a2b+3ab2+1·b3）（1·a3+3a2b+3ab2+1·b3） 其中1·a3×1·b3=1·a3b3；3a2b×3ab2=9·a3b3；3ab2×3a2b=9·a3b3 ；1·b3×1·a3=1·a3b3； 合并同类项得20·a3b3 归纳 验证 二、归纳验证，反思总结 (a+b)n=1·an+nan-1b+…+？an-mbm+…+nabn-1+1·bn，回顾活 动2的探究活动，说说你在该数学活动过程中的学习进程. 反思 总结 答：观察： (a+b)n：n次数逐级升高，展开呈△分布； →归纳：外层系数为1，系数按次先增后减； →猜想：下一层系数，为上一层临近项系数的和； →验证：利用多项式乘法原理，得到对应指数幂的系数； →应用：推广到次数n为任意数. 为什么an-1b项的系数为n？ ： (a+b)n=1·an+nan-1b+…+？an-mbm+…+nabn-1+1·bn， 探讨 推广 以上an-mbm项的系数与n，m有何关系？试用(a+b)4展开式中a2b2项的系数说明. 交流 应用 答： (a+b)n=(a+b) (a+b) …(a+b)；在n-1个(a+b)中选a，只在一个(a+b)中选b; 只要关注n个(a+b)中哪个作为选b的式子，这样的可能有n种. n个(a+b) 答：在n-m个(a+b)中选a，在m个(a+b)中选b; 只要关注n个(a+b)中哪m个作为选b的式子，列数这样的可能个数就可以. 如： (a+b)4展开式中a2b2项的系数：4个项中任选2个： 共6种，故(a+b)4中a2b2项的系数为6，对于n为更大数字，我们将在高中专门学习. A B C D 由特殊到一般 发现规律： 计算→观察→猜想→归纳→验证→应用. 日历上，我们可以发现其中数字满足的规律，如图中的日历: 活动4 我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，如：7×13-6×14=7,17×23-16×24=7，发现结果都是7. 再选择两个类似的部分试试，验证规律； 换一个月的月历是否有同样的规律？ 用所学知识对以上规律加以证明. 小贴士： 方框必需框 ... ...
