北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（B卷）（原卷版+解析版）

北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（B卷） 考试时间:120分钟 第I卷（选择题共40分） 一、选择题:本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项. 1. 已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 7 3 已知向量满足，且，则（ ） A. 12 B. C. 4 D. 2 4. 各棱长均为的三棱锥的表面积为 A. B. C. D. 5. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 6. 若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac,则角B的值为 A. B. C. 或 D. 或 8. 在中，若．则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 9. 设是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题:本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 复数_____． 12. 已知单位向量满足，则向量与向量的夹角的大小为_____. 13. 体积为的球的表面积是_____. 14. 在梯形ABCD中，为AD中点，若，则_____.. 15. 已知非零向量，其中是一组不共线的向量.能使得与的方向相反的一组实数的值为_____，_____. 三、解答题:本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步 或证明过程. 16. 复数. （1）若复数是实数，求实数的值; （2）若复数是纯虚数，求实数的值; （3）在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 17. 已知向量. （1）求和的值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 18. 已知向量满足:，夹角. （1）求; （2）求; （3）若与方向相同的单位向量为，直接写出在上的投影向量. 19. 在中，，，． （1）求的面积； （2）求及值． 20. 在△中，，． （1）求的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为． 注：如果选择条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 21. 对于任意实数，引入记号表示算式，即，称记号为二阶行列式.是上述行列式的展开式，其计算的结果叫做行列式的值. （1）求下列行列式的值： ①；②； （2）求证:向量与向量共线的充要条件是； （3）讨论关于二元一次方程组有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（B卷） 考试时间:120分钟 第I卷（选择题共40分） 一、选择题:本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项. 1. 已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用单位向量的定义与向量数量积运算即可得解. 【详解】对于A，因为是两个单位向量，但两者方向不一定相同， 所以不一定成立，故A错误； 对于B，，显然不一定成立，故B错误； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 2. 已知向量满足，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标运算可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. 12 B. C. 4 ... ...