《2.3 向量的内积》教学设计 学习目标 知识 能力与素养 （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式及其坐标表示 （3）了解平面向量垂直的充要条件及向量的模、夹角的计算公式. （1）正确进行平面向量的内积运算，会计算向量的模及夹角的余弦值； （2）根据条件判断两个向量是否垂直； （3）通过相关问题的解决，培养计算技能和数学思维能力． 学习重难点 重点 难点 平面向量内积的概念及计算公式. 内积的概念及利用内积来计算两个非零向量的夹角． 教材分析 向量内积是继向量线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛，还是培养学生数形结合的数学能力的良好题材，可以说是高中数学重要内容之一. 学情分析 学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，对几何方法也有了一定的认识，初步体会了研究向量运算的一般方法.但学生学习的自主性较差，学习有依赖性，且学习的信心不足，要鼓励学生积极参与研究，主动去发现问题与解决问题． 教学工具 教学课件 课时安排 2课时 教学过程 （一）创设情境，生成问题 情境与问题 物体在力的作用下,沿着力的方向移动了一段距离,就说力对物体做了功.如图所示,在拉力F的作用下,小车在水平方向上发生了位移s.设力F与位移s的夹角为θ,怎样计算力F 对小车做的功呢？ 力F 在位移s的方向上的分力F1的大小为|F|= |F1|·cosθ.由于小车在分力F2方向上的位移等于0,故分力F2对小车做的功等于0,从而力F对小车所做的功就是分力F1对小车做的功,即 力F 和位移s是两个向量,它们按照上式确定了一个数量W.为向量F 与向量s的“内积”或“数量积”. 【设计意图】结合做功的实例进行引入，更加直观. （二）调动思维，探究新知 如图所示,对于非零向量a和b,作，称射线OA、OB所成的最小正角为向量与的夹角,记作. 当a、b同向时，； 当a、b反向时，； 当时， 称向量a与向量b互相垂直，记作. 两个向量a、b的模与它们夹角的余弦值之积称为向量a和b的内积(或数量积),记作a · b,即 由内积定义可知： . 零向量与任一向量的内积为0，即0 · a=0. 温馨提示 对于非零向量a和b，当a、b同向时，； 当a、b反向时，. 对于两个非零向量a和b，由内积的定义有： 探究与发现 是否可以用向量的内积描述几何学中的垂直、长度与夹角？ 【设计意图】结合力做功引出向量可以相乘并且结果是数量，几个结论引导学生进行推导，可以视作向量内积的几何应用，探究与发现深化3个性质的几何应用. （三）巩固知识，典例练习 【典例1】已知|a|＝3,|b|＝2,
＝60°，求a·b． 解: a·b＝|a||b| cos ＝5×6×cos 60°＝15． 【典例2】 已知|a|＝|b|＝2，a·b＝-2，求cos的值． 解: cos＝ 可以验证，向量的内积满足下面的运算规律： （1）a·b＝b·a． （2）()·b＝(a·b)＝a·(b)． （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 【典例3】设|a|＝4,|b|＝10, ＝60°，问m为何值时，向量与向量互相垂直？ 解:由已知可得，，因此有 要使向量与向量互相垂直，必须满足，即4m+200=0.于是,m=-5. 因此，当m为-5时，向量与向量互相垂直. 【设计意图】例1直接应用公式，例2是公式的逆用和几何应用，例3巩固向量垂直的充要条件的应用. （四）巩固练习，提升素养 【巩固1】已知|a|＝3,|b|＝2, ＝,求a·b． 解 a·b＝|a||b| cos ＝3×2×cos＝3． 【巩固2】已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求． 解 cos＝＝＝ . 由于 0≤≤， 所以 ＝． 【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 （五）巩固练习，提升素养 1. 判断下列说法是否正确. （1）两向量夹角的范围与直线倾斜角的范围相同； ... ... 
