2.5 矩形 第2课时 课件(共20张PPT) 2023-2024学年数学湘教版八年级下册

(课件网) 第2章 四边形 2.5 矩 形 2.5.2 矩形的性质 学习目标 1．探索并证明矩形的判定定理： 三个角是直角的四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 2．会运用矩形的判定定理判定一个四边形是矩形. 学习重点、难点 矩形的判定定理及其应用. 重点： 难点： 判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”的探索与证明. 知识回顾 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 课时导入 动脑筋 类比平行四边形的定义是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？ 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 矩形是特殊的平行四边形. 问题2 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立. 问题3 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 证明猜想 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：∵ ∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∴四边形 ABCD 是矩形. A B C D 知识讲解 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形. 应用： 在四边形 ABCD 中， ∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90°， ∴四边形 ABCD 是矩形. A B C D 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，我们猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对吗？ 思考 你能证明这一猜想吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线相等且平分. 等腰梯形的对角线也相等. 动脑筋 证明猜想 已知：如图,在□ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线， AC = DB. 求证：□ABCD 是矩形. 证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB， ∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°. ∴∠ABC = 90°. ∴ □ ABCD 是矩形（矩形的定义）. A B C D 知识讲解 矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形. 应用： 在平行四边形 ABCD 中， ∵AC = BD， ∴平行四边形 ABCD 是矩形. A B C D 例1 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形． 证明：在□ ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DAB + ∠ABC = 180°. ∵AE 与 BG 分别为∠DAB、∠ABC 的平分线， F A B D C H E G ∴四边形 EFGH 是矩形． 同理可证∠AED = ∠EHG = 90°. ∴∠AFB = 90°. ∴∠GFE = 90°. ∴ ∠BAE + ∠ABF = ∠DAB+ ∠ABC = 90°. 例2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是 △ABC 外角 ∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形． ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM. ＝ (∠BAC＋∠CAM) ＝ 90°. 证明：在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC ＝ ∠CEA ＝ 90°. ∴四边形 ADCE 为矩形． 随 堂 小 测 1. 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 2. 如图，直线 EF∥MN，PQ 交 EF、MN 于 A ... ...