1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 课件(共26张PPT) 2023-2024学年数学湘教版九年级下册

(课件网) 第1章 二次函数 *1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 学习目标 1．掌握用待定系数法确定二次函数的表达式.（重点） 2．知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.（难点） 知识回顾 问题1 一次函数 y = kx+b( k ≠ 0 ) 有几个待定系数？通常需要已 知几个点的坐标求出它的表达式？ 2个 2个 只要求出k和b的值，就可以确定一次函数表达式. ！ 问题2 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 待定系数法： (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 课时导入 问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )中有几个待定系数？ 需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格 的一部分，要求这个二次函数的表达式. x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 解：设这个二次函数的表达式是y = ax2+bx+c， 把 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)代入y = ax2+bx+c得 ① 选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c=-3， 解得 a=-1， b=-4， c=-3. ∴所求的二次函数的表达式是 y = -x2-4x-3. 待定系数法步骤： 1.设：(表达式) 2.代：(坐标代入) 3.解：方程(组) 4.还原：(写表达式) 例1 已知一个二次函数的图象经过三点 (1，3)，(-1，-5)，(3，-13) ，求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c，将三点坐标 (1，3)，(-1，-5)，(3，-13) 分别代入函数表达式，得 a-b+c=-5， 9a+3b+c=-13， 解得 因此，所求的二次函数的表达式是y = -3x2+4x+2. a+b+c=3， a=-3，b=4，c=2. 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？ (1) P(1，-5)， Q(-1，3)， R(2，-3)； (2) P(1，-5)， Q(-1，3)， M(2，-9). 例2 解：(1)设有二次函数 y = ax2+bx+c，它的图象经过 P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： a + b + c= -5， a - b+ c = 3， 4a + 2b+c = -3， 因此，二次函数 y = 2x2-4x-3的图象经过P，Q，R 三点. (2) 设有二次函数 y = ax2+bx+c 的图象经过点P，Q，M 三点，则得到关于 a，b，c 的三元一次方程组： a + b + c = -5， a - b + c = 3， 4a + 2b + c = -9， 解得 a =0，b = -4，c = -1. 因此，一次函数 y = - 4x -1 的图象经过 P，Q，M 三点. 这说明没有一个这样的二次函数，它的图象能经过 P，Q，M 三点. 解得 a = 2，b = -4，c = -3. 例 2 说明了什么？ 若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点. 二次函数 y = ax2+bx+c 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 交点法求二次函数的表达式 选取点(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 解：∵(-3，0)，(-1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点，∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2)，(其中x1、x2为交点的横坐标) 因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点(0，-3)代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1)，即y=-x2-4x-3. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 顶点法求二次函数的表达式 选取顶点(-2，1)和点(1，-8)，试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 +k， 把顶点(-2，1)代入y = a(x - h)2 +k 得 y = a(x + 2)2 +1， 再把点(1，-8)代入上式得 a(1+2)2 + 1 = -8， 解得a = -1. ∴所求的二次函数的表达式是y = -(x + 2)2 +1或y = -x2 - 4x -3. 知识讲解 这种已知任意三点坐标求二次函数表达式的方法叫作一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+ ... ...