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课件网) 2.4 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的判定与性质 学习目标 1. 理解线段垂直平分线的概念； 2. 探索并证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理； 3. 通过对线段垂直平分线性质定理的探索，进一步了解原命题与逆命题之间的关系. ※ 新课导入 如图，人字形屋顶的框架中,点A与点A'关于线段CD所在的直线l对称,问线段CD所在的直线l与线段AA'有什么关系？ 发现：AD=A'D，l⊥AA'. ※ 新知探究 我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到右图. 点A与点A'关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直AA′. A A′ D l 1 2 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB之间有什么关系 作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合， 于是PA=PB. 由此得出线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，若AC=2.3 cm，BD=1.6 cm，则四边形ACBD的周长是（ ）. A. 3.9 cm B. 7.8 cm C. 3.2 cm D. 4.6 cm 练一练 B 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？ 分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论. (1) 当点P在线段AB上时，如右图. 因为PA=PB， 所以点P为线段 AB 的中点. 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上. A B P (2) 当点P在线段AB外时，如右图. 因为PA =PB， 所以△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， 从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即PC⊥AB，且AC=BC. 因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 由此得出线段垂直平分线的性质的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 例 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴OA=OB. 同理OB=OC. ∴OA=OC. ∴点O在AC的垂直平分线上. 结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 练一练 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ 将该购物中心应建于AB，BC，AC三条线段的垂直平分线的交点处，才能使得它到三个小区的距离相等. ※ 针对训练 1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是（ ） A. AB 垂直平分 CD B. CD 垂直平分 AB C. AB 与 CD 互相垂直平分 D. CD 平分∠ACB A 2.如图，在△ABC中，AB=5 cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD 的周长为8 cm，则线段AC 的长为 . 3 cm 3.已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC. 证明：∵∠1=∠2，∴ EB=EC. ∴ 点E在线段BC的垂直平分线上. 又∵∠3=∠4，所以∠ABC=∠ACB， ∴ 点A也在线段BC的垂直平分线上. ∴ AD垂直平分BC. 4.已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.求证：AO = BO. 证明：∵AC=BC，AD=BD， ∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上. ∴CD垂直平分线段AB. 又∵AB与CD相交于点O， ∴AO=BO. ※ 课堂小结 线段的轴对称性 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴 线段的垂直平分线 定义 垂直且平分 ... ...
