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课件网) 第二章 等式与不等式 2.1 等 式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 学习目标 1.通过理解等式的性质,体会用等式的性质解方程,培养数学抽象的核心 素养. 2.通过类比推理,掌握等式推理的基本形式和规则,探索出解方程的核心方法,培养逻辑推理的核心素养. 3.通过求方程的解集,培养数学运算的核心素养. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1.等式的性质 等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立; 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立. 符号语言表示为 (1)如果a=b,则对任意c都有 . (2)如果a=b,则对任意不为零的c,都有 . 思考1:如果a=b,对任意c,是否有a-c=b-c成立 答案:因为减去一个数等于加上这个数的相反数,即a-c=a+(-c),b-c=b+(-c),从而对任意c都有a-c=b-c成立. 知识梳理·自主探究 知识探究 a+c=b+c ac=bc 2.恒等式 (1)一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取 实数时等式都 ,则称其为 ,也称等式两边 . 任意 成立 恒等式 恒等 (2)十字相乘法: 给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D= 且C= ,则x2+Cx+D= . 已知C和D,寻找满足条件的a和b的过程如图: 其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于 .这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 思考3:十字相乘法分解因式的关键是什么 答案:把二次项和常数项分解,交叉相乘,得到两个因数,再把两个因式相加,看它们的和是不是正好等于一次项系数. ab a+b (x+a)(x+b) C (3)常见的恒等式: ①a2-b2= . ②(x+y)2= . ③(x-y)2= . ④x3+y3= . ⑤x3-y3= . ⑥(x+a)(x+b)= . ⑦(ax+b)(cx+d)= . (a+b)(a-b) x2+2xy+y2 x2-2xy+y2 (x+y)(x2-xy+y2) (x-y)(x2+xy+y2) x2+(a+b)x+ab acx2+(ad+bc)x+bd 思考4:将恒等式中的字母换为其他字母或有意义的代数表示式,等式是否仍然成立 答案:用其他字母或有意义的代数式去替换恒等式中的字母,等式仍然成立,因此恒等式是进行代数变形的依据之一. 3.方程的解集 方程的解(或根)是指能使方程左右两边 的 的值.一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的 . 思考5:把方程通过适当变换后,求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗 答案:把方程通过变换,求出的未知数的值不一定是这个方程的根,也可能是这个方程的增根. 相等 未知数 解集 拓展总结 (1)常用恒等式 ①(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; ②(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3; ③(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca. 师生互动·合作探究 探究点一 等式性质的应用 方法总结 等式的性质是进行恒等变形的依据,是解题过程正确性的保证,应引起 重视. 针对训练:将等式变形,过程如下: 因为3a-2b=2a-2b, 所以3a=2a,(第一步) 所以3=2,(第二步) 上述过程中,第一步的依据是 ;第二步得出错误的结论,其原因是 . 解析:第一步的依据是等式的性质.第二步得出错误的结论,其原因是a=0. 答案:等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立 a=0 探究点二 恒等式的化简 角度一 利用恒等式化简 [例2] 计算下列各式: (1)(4+m)(16-4m+m2); 解:(1)原式=43+m3=64+m3. 解:(2)原式=(a2-4)(a4+4a2+16) =(a2)3-43 =a6-64. (2)(a+2)(a-2)(a4+4a2+16); [例2] 计算下列各式: (3)(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1). 解:(3)法一 原式=(x2-1)[(x2+1)2-x2] =(x2-1)·(x4+x2+1) =x6-1. 法二 原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1) =(x3+1)·(x3-1) =x6-1. 方法总结 (1)在进行代数式的乘法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构. (2)注意乘法公式的正用、逆用及变形应用. 针对训练:计算下列各式: (1)(x-3y-4z)2; 解:(1)原式=x2+9y2+16z2-6xy-8xz+24yz. 解:(2)原式=4a2+1+b2+4a-4ab-2b-(a2+ab-2b2) =3a2-5ab+3b2+4a-2b+1. (2)(2a+1-b)2-(a-b) ... ...
