多面体欧拉定理的发现

课件15张PPT。多面体欧拉定理的发现研究性学习课题二、多面体欧拉公式的发现问题1：观察以下五个多面体的顶点数V、面数F、棱数E各是多少？它们之间有没有什么关系？二、多面体欧拉公式的发现问题2：是否所有的多面体的顶点数V、面数F和棱数E都满足V+F-E=2？我们再看看下面的3个多面体，它们的顶点数V、面数F和棱数E又是多少？二、多面体欧拉公式的发现问题3：什么样的多面体的顶点数V、面数F和棱数E满足V+F-E=2？像这样的连续变形中，表面可以变成一个球面的多面体叫做简单多面体。二、多面体欧拉公式的发现问题4：如何证明欧拉公式？V+F-E=2简单多面体的欧拉公式：证明思路一 利用多边形的内角 和公式进行证明.1.将多面体转化为由多边形组成的平面图形2.变形中的不变量：左图中多面体某个面是n边形，右图中相应的多边形仍为n边形问题4：如何证明欧拉公式？图1图23.计算多边形的内角和(1)设图1中多面体的F个面分别是n1，n2，...，nF边形，各面的 内角总和是多少？(3)设图2中最大的多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它的内角和是多少？它的内部包含的其他多边形的顶点数（不同多边形的公共顶点只计一次）是多少？所有其他多边形的内角和是多少？n1+n2+...+nF=2EV-m等于图1图23.计算多边形的内角和?V+F-E=2(3)设图2中最大的多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则所有其他多边形的内角和是多少？ 证明思路二 利用拓扑变换的 方法进行证明.4.总结多面体欧拉公式的发现过程（1）从具体的实物提出问题，多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间有什么关系？（2）从简单的几个多面体去猜测他们的关系。（3）尝试证明猜测的结论。这体现了发现数学定理的一种重要的思路，问题来源于我们的现实生活，结论可以先猜再证。三、多面体欧拉公式的应用（1）1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重要贡献的三位科学家。C60是由60个C原子组成的分子，它的结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各个面的形状分为五边形或六边形两种（如图）。计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各是多少？解：设C60分子中形状为五边形和六 边形的面各为x个和y个多面体的顶点数V=60,面数F=x+y另一方面，棱数可以由多边形的边 数来表示，即由以上两个方程可解出x=12，y=20答：C60分子中形状为五边形和六边 形的面各有12个和20个。四、研究性课题（1）欧拉公式有几种证明方法（2）欧拉公式的用途（3）欧拉发现欧拉公式的背景及其相关著作（4）由欧拉公式你能得出什么新的结论（5）研究欧拉(Leonhard Euler)的一生（包括他的故事、成就等）五、本节要记住的几个结论（1）简单多面体满足欧拉公式: V+F-E=2 ... ...