2023-2024学年吉林省普通高中友好学校联合体高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是( ) A. B. C. D. 2.若是平面外的一条直线，则直线与平面内的直线的位置关系是( ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交或异面 3.若是虚数单位，则复数的虚部等于( ) A. B. C. D. 4.如图，已知等腰三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是( ) A. B. C. D. 5.已知圆锥的高为，其侧面展开图的心角为，则该圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，则( ) A. B. C. D. 7.在中，已知，且，则是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 8.已知平面上的两个单位向量，满足，若，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是( ) A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 正方体 10.已知复数，则下列说法正确的是( ) A. 若，则共轭复数 B. 若复数，则 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若，则 11.下列命题正确的是( ) A. B. 已知，为非零实数，若，则与共线 C. 若为非零向量，若“”则“” D. 若单位向量满足，则与的夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数，则在复平面内对应的点位于_____象限． 13.已知根细钢丝的长度分别为，，，，用其中的根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是_____． 14.已知向量，，且，的夹角为，则在上的投影向量的坐标为_____， _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 求实数的值或取值范围，使得复数分别满足： 是实数； 是纯虚数； 是复平面中对应的点位于第二象限． 16.本小题分 已知向量，，． 若点，，共线，求实数的值； 若为直角三角形，求实数的值． 17.本小题分 正棱锥的底面边长为，高为求： 棱锥的侧棱长和侧面的高； 棱锥的表面积与体积． 18.本小题分 如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，为的中点． 证明：平面． 证明：平面平面． 19.本小题分 如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为米分钟，在甲出发分钟后，乙从乘缆车到，在处停留分钟后，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为米分钟，山路长米，经测量，，． 求索道的长； 问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了向量的坐标运算，属于基础题． 根据向量的坐标运算即可求出． 【解答】 解：由图可知，，， 所以． 故选D． 2.【答案】 【解析】解：是平面外的一条直线，或与相交， 若，则与平面内的直线的位置关系是平行或异面； 若与相交，则与内直线的位置关系是相交或异面． 则直线与平面内的直线的位置关系是平行、相交或异面． 故选：． 由是平面外的一条直线，可得与的位置关系，然后分类分析得答案． 本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题． 3.【答案】 【解析】解：， 复数的虚部等于． 故选：． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 4.【答案】 【解析】解：是一平面图形的直观图，斜边， 直角三角形的直角边长是， 直角三角形的面积是， 原平面图形的面积是， 故选：． ... ...
