天津十二校联考2024届高考二模数学试卷（PDF版含答案）

2024 年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（二） 数学参考答案 一、选择题:每小题 5 分，满分 45分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A B C C B A D D 二、填空题: 每小题 5分，共 30分.（两空中对一个得 3 分，对两个得 5分） 1 3 10. i 12 11. 2 12. 2 2 5 4 7 1 31 3 5 1+ 5 3+ 5 13. ； 14. ； 15. (0， ] [ , ） {3} 27 13 3 80 2 2 2 三、解答题：本大题 5 小题，共 75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分 14 分） 解：（I）因为 ( + ) + 1 = 0 2 ，利用正弦定理可得： ( + ) + 1 = 0， 2 …………1 分 即2 ( + ) + = 0． …………2 分 因为sin (B +C ) = sin A ≠ 0，所以2 + 1 = 0，即 = 1， 2 …………3 分 又 ∈ (0, )，可得 = 2 ． 3 …………5 分 2i = + 2 2 2+ 2 49 1 （II）（）由余弦定理及已知可得： = ， ………6 分 2 2 2 即( + )2 = 49，又因为 + = 8，所以 = 15 …………7 分 + = 8 = 3 = 5 联立 = 15 = 5 或 = 3（舍） …………9 分 ii = 3 3 3（ ）由正弦定理可知： = × 1 20 = √ …………10 分 7 14 因为 < ，则 < ，故 A为锐角， = √1 2 = 13 11 14 ………… 分 (2 + ) = sin + = sin cos + cos sin = 3√3 . 1 + 13 . √3 = 4√3…… 14 分 3 3 3 14 2 14 2 7 第 1 页 共 10 页 （17）（本小题满分 15 分） （I）设CP DE = G ，连接 FG ， 四边形PDCE 为矩形，∴G为 PC 中点，又F 为 PA中 点，∴AC //FG ，又 FG 平面DEF ， AC 平面DEF ，∴AC // 平面 DEF .…………4 分 C C C （II）以D为坐标原点，DA, DC, DP 正方向为 x, y, z轴， 可建立如图所示空间直角坐标系， …………5 分 则A(1,0,0)B(1,1,0)，C(0,2,0)，P 0,0,√2 ，E 0,2,√2 C ∴BC = ( 1,1,0)，C P = 0, 2,√2 ， A E = 1,2,√2 …………6 分 C 设平面BCP的法向量n = (x, y, z )， C BC C n = x + y = 0 ∴ C C ，令 y =1，解得： x =1， z = 2 ，∴ n = 1,1,√2 ；………8 分 CP n = 2y + 2z = 0 设直线AE与平面BCP所成角为θ，∴ sinθ = cos < A E , n > = A E n = 3√7 AE | ， n | 14 3 7 则直线AE与平面BCP所成角正弦值为 √ . …………10 分 14 （设角和作答具备其一即可，均不写扣 1 分） （III） P A = 1,0, √2 ，设P F = λP A = (λ, 0, √2λ), λ ∈ [0,1] …………11 分 C 由平面BCP的法向量n = (1,1, 2 )， P F F BCP d = n = |λ| = 1点 到平面 的距离 . …………13 分 |n | 2 6 1 解得λ = 3 …………14 分 1 所以 | PF |= | PA | 3= …………15 分 3 3 第 2 页 共 10 页 （18）（本小题满分 15 分） 解： （I）设数列{an}的公差为 d ,数列{b }的公比为 qn , 3+ 3d = 3q 由题意知 ,3 d 5 …………2 分 + = q = 3 解之得 ,an = 2n +1,b n d 2 n = 3 …………4 分 = （II）当n 为奇数时，cn = (2n +1)3n 设 An = c1 + c3 + ...+ c2n 1 = 3 2 + 7×33 +11×35 + ...+ (4n 1)×32n 1 9A = 3×33n + 7×3 5 +11×37 + ...(4n 5)×32n 1 + (4n 1)×32n+1 …………5 分 ( n-1 8A = 9+ 4 33 + 35 + 37 + ...+ 32n 1 ) (4n 1)×32n+1 9 4 27(1 9 )n = + (4n 1)×32n+1 ……6 分 1 9 9 9 = + 12n ×9n 2 2 9 24n 9 ∴ An = + .9 n …………7 分 16 16 n c (3 4n)3 n 1 3n 3n+2 当 为偶数时， n = ( = …………9 分 2n 1)(2n + 3) 4 (2n 1) (2n + 3) Bn = c2 + c4 + ...+ c2n = 1 32 34 34 36 32n 32n+2 1 32 32n+2 4 + + ...+ = 3 7 7 11 4n 1 4n + 3 4 3 4n + 3 B 3 9 n+1 ∴ n = 4 4( ) …………10 分 4n + 3 n+1 ∴T2n = A + B = 21 24n 9 n 9 n n + 9 ( ) …………11 分 16 16 4 4n + 3 2 (1 λ)n2（III）方法一： + (1 2λ)n 6 < 0(n∈N* )恒成立, λ n + n 6化简得 > 2 …12 分 ... ...