中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教B版高中数学必修第一册 专题强化练3 利用均值不等式求最值 1.(2023豫南名校期中)已知两个正实数x,y满足x+y=1,则的最大值是( ) A. C.6 D.9 2.(2024浙江温州期末)已知m,n均为正实数,且满足m2n+2mn2-4m-n=0,则m+2n的最小值为( ) A.2 C.+9 3.(2023浙江宁波九校期末)已知x>y>0,且x2-y2=1,则2x2+3y2-4xy的最小值为( ) A. 4.(多选题)(2024湖北孝感部分学校月考)已知a,b为正实数,且ab+2a+b=16,则( ) A.2a+b的最小值为8 B. C.ab的最大值为8 D.b+ 5.(2024广东梅州期末)若a>0,b>0,则min的最大值是 .(注:min{x,y}表示x,y中的较小者) 6.(2023山东青岛月考)若正实数x,y满足-1,则x+2y的最大值为 . 7.(2023河北石家庄正定中学月考)设a>2b>0,那么的最小值是 . 8.(2022广东深圳南山外国语学校月考)已知x>0,y>0. (1)若不等式≥0恒成立,求实数m的最小值; (2)若x+y=1,≥9恒成立,求正实数a的最小值. 9.(2022江苏常州北郊高级中学月考)如图,我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC的直角边长分别为a,b,且直角三角形ABC的周长为1. (1)求直角三角形ABC面积的最大值; (2)求正方形ABDE面积的最小值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练3 利用均值不等式求最值 1.B 2.A 3.B 4.ACD 1.B 易得.因为正实数x,y满足x+y=1,所以≥5+2=9,当且仅当x=2y且x+y=1,即x=时取等号,则.故选B. 2.A 由题意得m2n+2mn2=mn(m+2n)=4m+n,所以m+2n=,所以(m+2n)2=≥9+2,当且仅当,即n=,m=1时,等号成立,所以(m+2n)min=+1.故选A. 3.B 由已知得x2-y2=(x+y)(x-y)=1. 设x+y=a,x-y=b, 则x=,且ab=1,a>0,b>0, 所以2x2+3y2-4xy=2-4·=1, 当且仅当a=3b,即a=时,等号成立. 故2x2+3y2-4xy的最小值为1. 4.ACD 由16=ab+2a+b得b=-2. 2a+b=2a+-4≥2-4=8,当且仅当2(a+1)=,即a=2时取等号,因此2a+b的最小值为8,A正确; ≥2,当且仅当a+1=b+2时取等号,因此,B错误; 16=ab+2a+b≥ab+2,当且仅当2a=b时取等号,解不等式得0<≤2,即ab≤8,因此ab的最大值为8,C正确; b+-2 =≥2, 当且仅当,即a=时取等号,因此b+,D正确. 故选ACD. 5.答案 解析 令h=min,因为a>0,b>0,所以0
2b>0,所以a-2b>0,所以b(a-2b)=(2b)(a-2b)≤,当且仅当2b=a-2b,即a=4b时,等号成立,所以≥8×2=32,当且仅当a2=,且a=4b,即a=时,等号成立. 8.解析 (1)∵x>0,y>0,≥0恒成立, ∴(x+y)≥-m恒成立, 又(x+y)≥4,当且仅当x=y时取等号,∴-m≤4,则m≥-4,故m的最小值为-4. (2)∵≥9恒成立,∴≥9. ∵x>0,y>0,a>0,x+y=1, ∴≥a+1+2,当且仅当y=x时,等号成立,∴≥9,∴+1≥3,∴a≥4. 故a的最小值为4. 9.解析 (1)因为直角三角形ABC的直角边长分别为a,b,且直角三角形ABC的周长为1, 所以1=a+b+≥2)·,当且仅当a=b时取等号, 解得0<,所以0
