中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教B版高中数学必修第一册 专题强化练4 函数的单调性与奇偶性 1.(2022江苏苏州吴江高级中学期中)已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于y轴对称,且f(x)在(-∞,0]上单调递增,若f(3a-2)>f(2a),则实数a的取值范围是( ) A.a<或a>或a>2 C.
0时, f(x)>2,则( ) A.f(0)=2 B.f(x)为奇函数 C.f(x)的值域为(0,+∞) D.f(x)在R上单调递增 3.(多选题)(2024湖北恩施期末)设函数f(x)=mid{|x-2|,x2,|x+2|},其中mid{x,y,z}表示x,y,z中的居中者.下列说法正确的有( ) A.f(x)只有一个最小值点 B.f(x)的值域为[1,+∞) C.f(x)为偶函数 D.f(x)在(0,1)上单调递减 4.(多选题)(2024江西上饶期末)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,4]上单调递增,且f(2x-4)也是偶函数,则( ) A.f(-5)>f(2) B.f(8)>f(1) C.函数f(2x+2)的图象关于直线x=-3对称 D.函数y=f(2x+2)+f(4-2x)的图象关于直线x=对称 5.(2022江苏响水中学期中)已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的函数,若f(x)为奇函数,当x∈(-1,0)时, f(x)=x3-1,则函数f(x)的解析式为 ;若函数f(x)是偶函数,且在(-1,0]上为增函数,则不等式f2x->f(1-x)的解集为 . 6.已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的函数,对于区间(-1,1)内的任意两个数a,b都满足等式f(a)+f(b)=f ,且当x>0时, f(x)>0. (1)求f(0)的值,并判断f(x)的奇偶性; (2)证明f(x)是(-1,1)上的增函数; (3)若f=1,解关于x的不等式f(x)+f(1-x)>2. 答案与分层梯度式解析 专题强化练4 函数的单调性与奇偶性 1.D 2.ACD 3.BCD 4.ACD 1.D 由题意可得f(x)是偶函数,因为f(x)在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减, 由f(3a-2)>f(2a)可得f(|3a-2|)>f(|2a|), 所以|3a-2|<|2a|,即(3a-2)2<4a2, 整理,得5a2-12a+4<0,解得0时, f(x)>2,所以f(1)>2,所以f(0)=2,故A正确; 因为f(0)=2,所以函数f(x)不可能为奇函数,故B不正确; 在2f(x+y)=f(x)f(y)中,令y=-x,得2f(0)=f(x)f(-x)=4, 当x<0时,-x>0,则f(-x)>2,由f(x)f(-x)=4,得f(x)=∈(0,2),又f(0)=2,所以f(x)的值域为(0,+∞),故C正确; 任取x1,x2∈R,且x10,故f(x2-x1)>2, 因为2f(x+y)=f(x)f(y),所以由f(x2-x1)>2得f(x2)f(-x1)>2,又f(x)f(-x)=4, 所以f(x2)·>2,即 >1, 易知f(x1)>0,所以f(x2)>f(x1),即f(x)在R上单调递增,故D正确. 3.BCD 画出函数f(x)的图象如图中实线部分所示, 对于A,由图可知,当x=±1时, f(x)取得最小值1,所以f(x)有两个最小值点,A错误; 对于B,由图可知,函数f(x)的值域为[1,+∞),B正确; 对于C,由图可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)为偶函数,C正确; 对于D,由图可知,函数f(x)在(0,1)上单调递减,D正确. 4.ACD 因为f(2x-4)是偶函数,所以f(2x-4)=f(-2x-4),即f(x-4)=f(-x-4), 所以f(x)的图象关于直线x=-4对称. 因为f(x)是偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称, 所以f(8)=f(-8)=f(0), f(-5)=f(-3)=f(3). 因为f(x)在[0,4]上单调递增,所以f(3)>f(2)>f(1)>f(0),即f(-5)>f(2)>f(1)>f(8),故A正确,B错误. 因为f(2x-4)是偶函数,所以f(2x-4)的图象关于y轴对称,将f(2x-4)的图象向左平移3个单位可得f(2x+2)的图象,所以f(2x+2)的图象关于直线x=-3对称,故C正确. 令g(x)=f(2x+2)+f(4-2x),则g(1-x)=f(4-2x)+f(2x+2),即g(x)=g(1-x),所以函数y=f(2x+2)+f(4-2x)的图象关于直线x=对称,故D正确. 5.答案 f(x)= 解析 当x∈(0,1)时,-x∈(-1,0),则f(-x)=(-x)3-1=-x3-1. 若函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,则当x∈(0,1)时, f(x)=-f(-x)=x3+1,当x=0时, f(x)=0. 所以函数f(x)的解析式为 ... ... 
