课时目标 1.经历探索角的轴对称性的过程,体会用尺规作已知角的平分线的作图原理. 2.经历合情推理发现结论,探索角平分线的性质定理及其逆定理的证明,进一步体会合情推理与演绎推理的不同作用. 3.体会转化的数学思想,提高分析和解决问题的能力. 学习重点 1.角平分线的性质定理的证明. 2.正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言,对几何命题加以证明. 学习难点 灵活运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题. 课时活动设计 情境引入 在一张半透明的纸上任意画出一个角,怎样得到这个角的平分线 设计意图:发散学生思维,让学生尝试多种方法得到角的平分线,学生可能想到折叠、使用量角器等多种方法,在教师给予充分肯定的基础上,学生大胆尝试、猜想.. 探究新知 探究1 角平分线的性质定理 在上述问题中: 按下图所示的过程,将你画出的∠AOB依上述办法对折后,设折痕为直线OC;再折纸,设折痕为直线n,直线n与边OA,OB分别交于点D,E,与折线OC交于点P;将纸展开铺平后,猜想线段PD与线段PE,线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系,并说明理由. 事实上,∠AOB是轴对称图形,它的平分线OC是对称轴.由折纸过程可知,PD=PE.特别地,当折痕n与OB垂直时,可得出:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 下面就来证明折纸过程中发现的结论. 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证:PD=PE. 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∵OC是∠AOB的平分线, ∴∠AOC=∠BOC. 在△OPD和△OPE中, ∴△OPD≌△OPE(AAS). ∴PD=PE. 学生独立完成,合作交流并完善证明过程. 总结:角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 符号语言: 如图,∵OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PD=PE. 教师点拨:角平分线的性质定理的作用:证明线段相等. 探究2 角平分线性质定理的逆定理 线段垂直平分线的性质定理的逆命题是一个真命题(定理),角平分线的性质定理的逆命题是真命题还是假命题 以小组为单位进行讨论交流,每组请出一个代表说出本组的讨论结果,教师进行点评. 教师总结:逆命题为到角的两边距离相等的点在角平分线上,它是一个真命题,具体的证明在第十七章进行学习. 角平分线性质定理的逆定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上. 设计意图:本环节让学生开展思考、交流、研讨活动,学生通过经历动手活动、猜想、验证和证明的过程,深入体会合情推理和演绎推理的严谨性,掌握问题的解决方法. 归纳总结 角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 几何语言: 如图,∵OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PD=PE. 角平分线性质定理的逆定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上. 几何语言: 如图,∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, ∴OP平分∠AOB. 设计意图:小组交流、归纳总结本节课学习的内容,让学生从被动学习到主动探究,激发学生的学习热情,培养学生自主学习数学的能力. 典例精讲 例 角平分线的尺规作图. 如图,已知∠AOB. 求作:∠AOB的平分线. 解:作法:如图. (1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点D,交OB于点E. (2)分别以点D,E为圆心,适当长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C. (3)作射线OC. 射线OC即为所求. 学生活动:请大家利用尺规作图的方法,把∠AOB的平分线画到半透明纸上. 设计意图:给学生充分时间进行思考及研讨,培养学生自主探究的能力,引导学生理解尺规作一个角的平分线的方法,并能用规范的数学语言来表达. 巩固训练 1.用尺规作一个已知角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( A ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足分别是E,F,DE=DF,∠EDB=60°,则∠EBF= 60° . 3.如图, ... ...
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