6.5.2平面与平面垂直 教案

第六章 立体几何初步 6.5.2 直线与平面垂直(2) 1.使学生经历探索面面垂直的判定定理的过程，初步掌握定理的应用； 2.培养学生观察、分析、抽象、概括的思维能力，进一步感受化归、类比等思维方法； 3.通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣． 教学重点：平面与平面垂直的判定定理． 教学难点：平面与平面垂直的判定定理的应用． 一、新课导入 情境：（1）为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直？ （2）如果你是一名质检员，你会怎样去判断一面墙与地面是否垂直呢？ 这两个问题都可以转化为两个平面垂直的问题，今天我们就来讨论如何判断两个平面垂直。 设计意图：通过情境导入，给学生以面面垂直的直观印象，引出对面面垂直判定的思考． 二、新知探究 问题1：我们知道，在长方体中，相邻两个面是互相垂直的，你能用二面角的知识来解释为什么吗？ 分析：如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，我们以平面ABCD和平面CDD′C′为例来探究． 追问1：平面ABCD和平面CDD′C′所成的二面角的平面角是？ 答案：∠BCC′（或∠ADD′）． 追问2：所求二面角是否为直二面角？ 答案：是的．故长方体中相邻的两个面都是互相垂直的． 问题2：将正方形ABCD沿着对角线BD折起,如何使得平面ABD与平面CBD垂直？ 分析：要使面面垂直，只需平面ABD和平面CBD所成的二面角的平面角为直角即可． 追问1：如何构造二面角的平面角？ 答案：连接AC交BD于点O，可得AO、CO都与BD垂直，则当正方形折起时，∠AOC即平面ABD与平面CBD所成二面角的平面角. 追问2：如何使∠AOC为直角？ 答案：AO⊥CO即可. 追问3：此时AO与平面CBD是什么位置关系？ 答案：垂直. . 问题3：事实上，建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直.系有铅锤的线是垂直于地面的，如果系有铅锤的线紧贴墙面，就说明墙面垂直于地面. 这种判断方法的理论依据是什么？ 猜想：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 下面证明猜想的正确性： 已知：如图，. 求证：. 证明：假设，∵，∴. 在平面内过点B作直线， 则∠ABC是二面角的平面角. 而AB⊥BC，故是直二面角， ∴. 由此，我们就得到了： 面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 符号语言：若，则． 追问2：现在你能解释为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直吗？ 答案：不管门如何旋转，门所在的平面始终经过地面的垂线(门轴所在的直线)，由面面垂直的判定定理可得，门所在的平面始终与底面垂直. 我们知道，可以通过“线线垂直”判定“线面垂直”；可以通过“线面垂直的定义”得到“线线垂直”；可以通过“线面垂直”判定“面面垂直”；同时“面面垂直的性质”得到“线面垂直”．这种直线、平面之间的位置关系的相互转化，是解决空间图形问题的一种重要的思想方法. 【概念巩固】 思考：判断下列命题是否正确，并简要说明理由. （1）若∥，则； （2）若，则； （3）经过已知平面的垂线，有且只有一个平面与已知平面垂直. 答案：（1）正确，理由如下： ∵∥，∴内必存在一条直线∥. 又，∴.又，∴. （2）正确，理由如下：∵，∴∥或b . 又，∴结合（1）中结论可得. 错误.理由如下： 不妨设平面的垂线为，显然，过直线的平面有无数个.根据面面垂直的判定定理，过直线的平面都与平面垂直，故命题错误. 三、应用举例 例1 如图，在四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，四个侧面都是矩形. 求证：平面BB′C′C⊥平面ABCD. 证明：∵四边形BB′C′C是矩形，∴CC′⊥BC. 同理可得CC′⊥CD. 又BC∩CD=C，BC、CD 平面ABCD， ∴CC′⊥平面ABCD. 又CC′ 平面BB′C′C，∴平面BB′C′C⊥平面ABCD. 例2 如图，在四面体A′-ABC中，A′A⊥平面AB ... ...