2023-2024学年湖南省衡阳市高一下学期期末考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列几何体中，顶点个数最少的是 A. 四棱锥 B. 长方体 C. 四棱台 D. 四面体 2. A. B. C. D. 3.已知直线，及平面，，且，，下列命题正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4.已知单位向量，满足，则与的夹角为 A. B. C. D. 5.将颜色为红、黄、白的个小球随机分给甲、乙、丙个人，每人个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是 A. 甲分得黄球 B. 甲分得白球 C. 丙没有分得白球 D. 甲分得白球，乙分得黄球 6.在矩形中，若，，，且，则 A. B. C. D. 7.如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点在同一水平面上测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离 A. B. C. D. 8.在正三棱柱中，，是的中点，是棱上的动点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，在长方体中，点，，，分别在棱，，，上，且平面平面，下列结论正确的是 A. B. C. D. 平面 10.国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类．年国天然气进口吨，其中液化天然气进口吨，气态天然气进口吨．年国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示： 下列结论正确的是 A. 年国从国进口的液化天然气比从国进口的多 B. 年国没有从国进口液化天然气 C. 年国从国进口的液化天然气一定比从国进口的多 D. 年国从国进口的液化天然气一定比从国进口的多 11.在中，是的中点，，，下列结论正确的是 A. 若，则 B. 面积的最大值为 C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数，则_____． 13.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到个类样本，个类样本．若类样本的平均数为，总体的平均数为，则类样本的平均数为_____． 14.已知某圆台的母线长为，下底面的半径为，若球与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球的表面积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量，． 若，求； 若向量，，求与夹角的余弦值． 16.本小题分 在中，内角，，的对边分别为，，，且． 证明：． 若，，求的周长． 17.本小题分 为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，该年级组织了一次测试．已知此次考试共有名学生参加，将考试成绩分成六组：第一组，第二组，，第六组整理数据得到如图所示的频率分布直方图． 该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数； 若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取人进行面对面调查分析，求这人中恰有人成绩在内的概率． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，． 证明：． 求三棱锥的体积． 求二面角的余弦值． 19.本小题分 在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打场，每场比赛中，胜、平、负分别积，，分．每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛．若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛．假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同例如：若，，三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同已知某小组内的，，，四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概 ... ...
