(
课件网) 冀教版 数学 八年级 上 第十七章 特殊三角形 17.4 直角三角形全等的判定 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明和简单应用. 2.会利用基本作图完成：已知一直角边和斜边作直角三角形. 3.理解掌握角平分线性质定理的逆定理（判定）的证明过程. 直角三角形全等的判定定理的证明. 直角三角形判定定理的应用. 复习引入 1.全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等. 2.判别两个三角形全等的方法： SSS SAS ASA AAS 知识点1 直角三角形全等的判定定理 新知探究 我们已经知道，三边对应相等的两个三角形全等.由勾股定理可知，两边对应相等的两个直角三角形，其第三边一定相等.从而，这两个直角三角形一定全等.因此，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'. 求证：△ABC≌△A'B'C'. 证明：在△ABC和△A'B'C'中，∵∠C=∠C'=90°， ∴BC2=AB2-AC2， B'C'2=A'B'2-A'C'2（勾股定理）. ∵AB=A'B'，AC=A'C'， ∴BC=B'C'． ∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）. 直角三角形全等的判定定理 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等． 这个定理可以简写为“斜边、直角边”或“HL”． 例题解析 例1 已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形. 已知：如图，线段a，c. 求作：△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c. 分析：首先作出边BC，由∠C为直角可以作出另一直角边所在的射线，由AB=c可以确定点A. 作法：如图. （1）作线段CB=a. （2）过点C，作MC CB. （3）以B为圆心，c为半径画弧，交CM于点A. （4）连接AB. 则△ABC即为所求. 例2 如图，点P在∠AOB的内部，PC OA，PD OB， 垂足分别为C，D，且PC＝PD． 求证：点P在∠AOB的平分线上． 证明：如图，作射线OP． ∵PC OA，PD OB， ∴∠PCO＝∠PDO＝90°． 在Rｔ△OPC和Rｔ△OPD中， ∵PC＝PD（已知）， OP＝OP（公共边）， ∴Rｔ△OPC≌Rｔ△OPD（HL）． ∴∠POA＝∠POB． ∴OP是∠AOB的平分线， 即点P在∠AOB的平分线上． 知识点2 角平分线性质定理的逆定理 角平分线性质定理的逆定理： 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 归纳： 随堂练习 1.判断下列命题的真假，并说说你的理由． （1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等； （2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等； （3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等； （4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线也相等的两个直角三角形全等. AAS SAS HL，SAS 2．如图，点O是∠BAC内一点，OP⊥AC于点P，OD⊥AB于点D，OP=OD，则直接得到△OPA≌△ODA的理由是（ ） A．HL B．ASA C．AAS D．SAS A ３.如图，两根长度均为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由. 解：相等.理由：根据题意可知， ∠AOB =∠AOC = 90°, AB =AC，AO =AO. ∴Rt△AOB≌ Rt△AOC（HL）. ∴OB =OC . 拓展提升 １.如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°. （1）求证：△ACB≌△BDA； （2）若∠ABC=35°，则∠CAO=_____. 20° 证明：∵∠C=∠D=90°， ∴△ACB和△BDA都是直角三角形． 在Rt△ACB和Rt△BDA中， AB=BA，BC=AD，∴Rt△ACB≌Rt△BDA. 2.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F. 求证：CE=DF. 证明：∵ AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠ ACB= ∠ BDA=90°. 在Rt △ ABC 和Rt △ BAD 中， AB=BA，BC=AD， ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ BAD(HL). ∴∠ CBE= ∠ DAF. ∵ CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠ CEB=∠ DFA=90°. 在△ BCE 和△ ADF 中， ∠ CEB= ∠ DFA， ∠ CBE= ∠ DAF， BC=AD， ... ...
