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课件网) 冀教版 数学 九年级 上 第二十五章 图形的相似 25.5 相似三角形的性质 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. 2.掌握相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方及其在实际中的应用. 明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. 相似三角形的性质定理解决简单的实际问题. 回顾复习 1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？ 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比叫做它们的相似比. 2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？ 全等三角形是相似三角形，其相似比为1. 3.相似三角形的判定方法有哪些？ 共5种；定义法，定理，判定定理1，判定定理2，判定定理3. 问题引入 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线. （1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由. （2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由. 探索新知 知识点1 相似三角形的性质定理1 问题1 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高的比各是多少？ 如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A'D' ． 则∠ADB＝∠A'D'B'＝90°. ∴△ABD ∽△A'B'D' . ∴ ＝ ＝k. 结论：相似三角形对应高的比等于相似比． 思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ A B C D E A' B' D' C' E' （2）已知：两个三角形相似比为k，即 . 求证： . 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠ABC＝∠A′B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′. 又BE，B′E′分别为对应角的平方线. ∴ ∠ABE＝∠A′B′E′. ∴ △ABE∽△A′B′E′. ∴ . 结论：相似三角形对应的角平分线的比也等于相似比． （3）已知：两个三角形相似比为k，即 . 求证： . 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠ABC＝∠A′B′C′， . 又AD，A′D′分别为对应边的中线， ∴ . ∴ △ABD∽△A′B′D′. ∴ . 结论：相似三角形对应的中线的比也等于相似比． 小结1 相似三角形的性质定理1： 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比. 例题示范 知识点2 相似三角形的性质定理2 问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由. 求证：相似三角形周长的比等于相似比. 证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k， 小结2 相似三角形的性质定理2： 相似三角形周长的比等于相似比. 知识点2 相似三角形性质定理2和定理3 问题4 △ABC的面积和△A1B1C1的面积的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由. 求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方. 证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k , 如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′. ∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B＝∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′，∴ , ∵△ABC∽△A′B′C′，∴ ,∴ ∴ ＝ ＝ · ＝k·k＝k2 . 小结3 相似三角形的性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 例题示范 例2 如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点.求: （1）△DEF的周长与△ABC的周长之比． （2）△DEF的面积与△ABC的面积之比． 随堂练习 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G. DE : BC＝2 : 3，那么AG : GH＝_____． 2．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那 ... ...
