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课件网) 一、三角函数图象的作法 1.几何法 y=sinx 作图步骤: (2)平移三角函数线; (3)用光滑的曲线连结各点. (1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线; x y o P M A x y o y=sinx -1 1 o1 A 2 2 3 2 2.五点法作函数 y=Asin( x+ ) 的图象的步骤: (1)令相位 x+ =0, , , , 2 , 解出相应的 x 的值; 2 3 2 (3)用光滑的曲线连结(2)中五点. (2)求(1)中 x 对应的 y 的值, 并描出相应五点; 3.变换法: 函数 y=Asin( x+ )+k 与 y=sinx 图象间的关系: ①函数 y=sinx 的图象纵坐标不变, 横坐标向左 ( >0) 或向右( <0) 平移 | | 个单位得 y=sin(x+ ) 的图象; ②函数 y=sin(x+ ) 图象的纵坐标不变, 横坐标变为原来的 , 得到函数 y=sin( x+ ) 的图象; 1 ③函数 y=sin( x+ ) 图象的横坐标不变, 纵坐标变为原来的 A倍, 得到函数 y=Asin( x+ ) 的图象; ④函数 y=Asin( x+ ) 图象的横坐标不变, 纵坐标向上 (k>0) 或向下 (k<0) 平移 |k| 个单位得 y=Asin(x+ )+k 的图象. 要特别注意, 若由 y=sin( x) 得到 y=sin( x+ ) 的图象, 则向左或向右平移应平移 | | 个单位. 二、三角函数图象的性质 注 正切函数的对称中心有两类: 一类是图象与 x 轴的交点, 另一类是渐近线与 x 轴的交点, 但无对称轴, 这是与正弦、余弦函数的不同之处. 1.正弦函数 y=sinx(x R) 是奇函数, 对称中心是 (k , 0)(k Z), 对称轴是直线 x=k + (k Z); 余弦函数 y=cosx(x R) 是偶函数, 对称中心是 (k + , 0)(k Z), 对称轴是直线 x=k (k Z)(正, 余弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点). 2 2 2.正切函数 y=tanx(x R, x +k , k Z) 是奇函数, 对称中心是( , 0)(k Z). 2 k 2 三、正、余弦函数的性质 1.定义域: 都是 R. 2.值域: 都是 [-1, 1]. 对 y=sinx, 当 x=2k + (k Z) 时, y 取最大值 1; 当 x=2k + (k Z) 时, y 取最小值 -1; 对 y=cosx, 当 x=2k (k Z) 时, y 取最大值 1, 当 x=2k + (k Z) 时, y 取最小值 -1. 2 2 3 3.周期性: ①y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是 2 ; ② f(x)= Asin( x+ ) 和 f(x)=Acos( x+ )的最小正周期都是 T= . | | 2 4.奇偶性与对称性: 正弦函数y=sinx(x R)是奇函数, 对称中心是 (k , 0)(k Z), 对称轴是直线 x=k + (k Z); 余弦函数 y=cosx (x R)是偶函数, 对称中心是 (k + , 0)(k Z), 对称轴是直线 x= k (k Z) (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点). 2 2 5.单调性: y=sinx 在 [2k - , 2k + ](k Z)上单调递增, 在[2k + , 2k + ](k Z)上单调递减; y=cosx 在 [2k , 2k + ] (k Z)上单调递减, 在 [2k + , 2k +2 ](k Z)上单调递增. 2 2 2 2 3 2.值域是 R, 在上面定义域上无最大值也无最小值. 1.定义域: {x | x +k , k Z}. 2 3.周期性: 是周期函数且周期是 , 它与直线 y=a 的两个相邻交点之间的距离是一个周期 . 注 一般说来, 某一周期函数解析式加绝对值或平方, 其周期性是: 弦减半、切不变. 四、正切函数的性质 o x y 五、典型例题 例1 利用单位圆中的三角函数线证明当 0< < 时, 不等式 sin <
cosx. {x| +2k 
