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课件网) (沪科版)数学 九年级 上 第23章 解直角三角形 23.1 锐角的三角函数 第2课时 正弦和余弦 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解锐角正弦、余弦的定义. 2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值. 理解锐角正弦、余弦的意义. 用正弦值、余弦值表示直角三角形中两边的比. 回顾复习 什么叫锐角的正切?什么叫坡度?如何表示? 在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,坡面的垂直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度; 记作:i,即i= . 问题引入 问题1:在图中,由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系.你能试着分析一下吗? 这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比也是一个固定值. 探索新知 知识点1 ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A , 即 在图中, ∠A的对边记作a, ∠B的对边记作b, ∠C的对边记作c. 例题示范 例1 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6,求BC的长. 解: 在Rt△ABC中, ∵ 即 ∴ BC=200×0.6=120. A B C 200 例2 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=20,sinA= .求:△ABC的周长和面积. 解: 在Rt△ABC中, ∵ BC=20, ∴ ∴AB=25 , ∴AC= =15 , ∴C△ABC=25+20+15=60. ∴S△ABC=150. 20 ┐ A B C 问题2:在图中,由于∠C=∠C′=90°,∠A=∠A'=α,所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系.你能试着分析一下吗? 这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值. 知识点2 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cosA,即 在图中, ∠A的对边记作a, ∠B的对边记作b, ∠C的对边记作c. 例题示范 例3 如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:sinB,cosB,tanB. 解:过A作AD⊥BC于D,则在Rt△ABD中, AB=5,已知BD=3,AD=4. 问题3:如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗? sinA的值越大,梯子越陡; cosA的值越小,梯子越陡. 例题示范 例4 sin70°,cos70°,tan70°的大小关系是( D ) A.tan70°<cos70°<sin70° B.cos70°<tan70°<sin70° C.sin70°<cos70°<tan70° D.cos70°<sin70°<tan70° 解析:根据锐角三角函数的概念,知sin70°<1,cos70°<1,tan70°>1.又cos70°=sin20°,锐角的正弦值随着角的增大而增大,∴sin70°>sin20°=cos70°.故选D. 【方法总结】当角度在0°<∠A<90°间变化时,0
cosA>0.当角度在45°<∠A<90°间变化时,tanA>1. 知识点3 在Rt △ABC中,∠C=90°, sinA=cosB 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号). 3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位. 4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 随堂练习 1.△ABC中,∠C=90°,AB=8,cosA= ,则AC的长 是_____. 2.已知A为锐角,tanA= ,则sinA=___ ,cosA=_____ . 3.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,设∠ADE=α,且 cosα= ,AB=4,则AD的长为_____. 6 4.如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,求sin∠ECM. 解:设正方形ABCD的边长为4x, 由勾股定理可知, ∵M是AD的中点,BE=3AE, ∴AM=DM=2x,AE=x,BE=3x. ∴EM2=AM2+AE2=(2x)2+x2=5x2 ∴CM2=DM2+DC2=(2x)2+(4x)2=20x2 ∴EC2=BC2+BE2=(4x)2 ... ...