4.2 正　切 课件(共48张PPT)2024-2025湘教版 数学九年级上册

(课件网) 4.2 正　切 知识点 正切 1 1. 正切的定义： 文字语言 数学语言 图示 在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tan α，即tan α 在Rt△ABC 中， tan α＝ 2. 特殊角的正切值： α 30° 45° 60° tan α 1 3. 利用计算器求锐角的正切值或由正切值求锐角： 所求值 计算器的按键顺序 求tan x°的值 求tan x°y′z′′的值 已知tan x°＝a， 求x 的值 4. 拓展： (1)互余两角的正切值之间的关系： tan α·tan(90°－α)＝1. (2)锐角α的正弦值、余弦值、正切值之间的商数关系： tan α ＝. 特别提醒 1. tan α是完整的数学符号，是一个整体，不能理解成tan · α. 2. tan α中的∠α的符号“ ∠”习惯上省略不写，但对于用三个大写英文字母或数字表示的角，角的符号不能省略. 3. tan α的值只与∠α的大小有关，与所在直角三角形的边的长短无关. 4. 正切符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文字母或三个大写英文字母或数字表示的角，也可以跟度数. [中考·桂林] 如图4.2-1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为点D，则 tan ∠BCD＝_____. 例1 解题秘方：紧扣正切的定义，找出该锐角所在的直角三角形的两直角边，求出正切值，或求出与之相等的锐角的正切值. 解：根据题意得∠BCD＝∠CAB， 所以tan ∠BCD＝tan ∠CAB＝＝＝. 感悟新知 1-1.已知∠ A+ ∠ B=90° ，且 cosA ＝ ，则tanB 的值为( ) A． B． C． D． C (1)已知α＝45°，求2sin2α－2sinα·tanα＋tan2α的值； 解：原式＝( sinα－tanα)2＝ (sin 45°－tan 45°)2＝2 ＝0. 解题秘方：用“代入法”求值. 例2 (2)计算tan2 45°＋ －3cos2 30°－的值. 解题秘方：用“代入法”求值. 解：原式＝×12＋－3×2－＝＋4－－1＝1. 感悟新知 2-1. [ 模拟·株洲二中]计算： sin230° +cos245° + ·sin60°·tan45° . 感悟新知 [ 期末·嘉峪关 ] 在 △ ABC 中， | 2cos A － 1 | +( － tan B)2=0，则△ ABC 的形状是_____． 例3 等边三角形 感悟新知 解：由题意得 2cos A － 1 ＝ 0， － tan B ＝ 0， 解得 cos A= ， tanB= ， ∴∠ A ＝ 60° ， ∠ B ＝ 60° ． ∴∠ C ＝ 60° ， ∴△ ABC 是等边三角形． 解题秘方：先根据特殊角的三角函数值求出两个内角的度数，再判断三角形的形状 . 感悟新知 教你一招： 已知特殊角的三角函数值求特殊角的度数时，要注意两点： 一是要求的角是锐角； 二是看准三角函数的类别，同样的函数值，不同的类别，角的度数一般不一样. 感悟新知 3-1. [ 月考·北京海淀区] 在△ ABC 中，若∠ A，∠ B 均为锐角， 且｜ sin A－｜ +( 1－tanB) 2 ＝ 0，则∠ C 的度数是( ) A． 45° B． 60° C． 75° D． 105° C 感悟新知 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 构建几何图形解决代 数问题 是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算 tan15 °时，可构造如图 4.2-2 所示的图形．在Rt △ ACB 中，∠ C ＝ 90°，∠ ABC ＝ 30°， AC ＝ x( x ＞ 0)，延长 CB 至点 D，使得 BD ＝ AB，连接 AD，易知∠ D ＝ 15°， CD ＝ BD+BC ＝ AB+BC ＝ 2x+ x， 所以 tan15°＝ tanD ＝… 例4 感悟新知 任务： (1)请根据上面的步骤，完成 tan15°的计算． (2)类比这种方法，画出图形，并计算 tan22.5°的值． 感悟新知 解题秘方：类比材料中的构造办法利用 45 ° 角构造出22.5° 角，再根据正切的定义求解 . 感悟新知 (1)请根据上面的步骤，完成 tan15°的计算． 解：由题意可得 ∠ D=15° ， AC ＝ x， CD ＝ 2x+ x ， ∴ tan15° =tan ∠ D= = =2 － ， 即 tan15° 的值是 2 － . 感悟新知 (2)类比这种方法，画出图形，并计算 tan22.5°的 ... ...