专题 15 导数与函数的极值、最值（十一大题型+模拟精练） 目录： 01 函数极值的辨析 02 求已知函数的极值 03 根据极值求参数 04 函数（导函数）图像与极值的关系 05 由导数求函数的最值 06 已知函数最值求参数 07 根据极值点求参数 08 由导数求函数的最大值（含参） 09 恒成立问题 10 零点问题 11 导数的综合应用 01 函数极值的辨析 1．（2024 高三·全国·专题练习）下列函数中，存在极值的函数为（ ） 2 A． y = ex B． y = ln x C． y = D． y = x2 - 2x x 【答案】D 【分析】根据极值的定义进行求解即可. 【解析】A：因为函数 y = ex 是实数集上的增函数，所以函数 y = ex 没有极值； B：因为函数 y = ln x 是正实数集上的增函数，所以函数 y = ln x 没有极值； 2 2 C：因为函数 y = 在区间 (0, + )、 (- ,0)上是减函数，所以函数 y = 没有极值； x x D：因为 y = x2 - 2x = (x -1)2 -1，所以该函数在 (1, + )上是增函数，在 (- ,1)上是减函数，因此 x =1是函数 的极小值点，符合题意， 故选：D 2．（2024 高三·全国·专题练习）下列结论中，正确的是 （ ） A．若 f x 在 a,b 上有极大值，则极大值一定是 a,b 上的最大值． B．若 f x 在 a,b 上有极小值，则极小值一定是 a,b 上的最小值． C．若 f x 在 a,b 上有极大值，则极大值一定是在 x = a和 x = b 处取得． D．若 f x 在 a,b 上连续，则 f x 在 a,b 上存在最大值和最小值． 【答案】D 【分析】根据极值和最值的定义逐一分析判断即可. 【解析】函数在 a,b 上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，故 AB 错误； 函数 f x 在 a,b 上的极值一定不会在端点处取得，故 C 错误； 若 f x 在 a,b 上连续，则 f x 在 a,b 上存在最大值和最小值，故 D 正确. 故选：D. 3．（2024 高三·全国·专题练习） 如图是 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可. 【解析】由导函数 f′(x)的图象知 在 x＝－2 处 f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2 是极大值； 在 x＝－1 处 f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1 是极小值； 在 x＝－3 处 f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2 是极大值； 所以 f(x)的极小值点的个数为 1， 故选：A 【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题. 4．（22-23 高二上·河南许昌·期末）函数 f x 的导函数 f (x) 的图象如图所示，则（ ） A． x =1为函数 f x 的零点 B． f -3 是函数 f x 的最小值 C．函数 f x 在 1,3 上单调递减 D． x = 3为函数 f x 的极大值点 【答案】C 【分析】根据 f x 的图象，得到函数 f x 的单调区间，结合函数的单调性，极值点和极值，以及零点的 概念，逐项判定，即可求解. 【解析】由 f x 的图象，可得： 当 x (- ,-3)时， f x < 0， f x 单调递减； 当 x (-3,1)时， f x > 0， f x 单调递增； 当 x (1,3)时， f x < 0， f x 单调递减； 当 x (3,+ ) 时， f x > 0， f x 单调递增， A 中， x =1是函数 f x 的一个极大值点，不一定是函数的零点，所以 A 不正确； B 中， f -3 是函数 f x 一个极小值，不一定是函数 f x 的最小值，所以 B 错误； C 中，函数 f x 在 1,3 上单调递减，所以 C 正确； D 中， x = 3为函数 f x 的极小值点，所以 D 错误. 故选：C. 02 求已知函数的极值 2 5 3x ．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数 f x = x - a ÷ e a R ． è 2 (1)当 a = 3时，求 f x 在点 2, f 2 处的切线方程； (2)讨论 f x 的单调性，并求出 f x 的极小值． 【答案】(1) y = 0 f x 2a - 6 , 2a , 2a - 6 2a (2) - 在 ÷单调递减，在 ÷和 ,+ ÷单调递增； ... ...
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