人教B版高中数学必修第一册第三章3-1-3第2课时函数奇偶性的应用课件(共35张PPT)+学案

第2课时　函数奇偶性的应用 学习任务 1．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．(逻辑推理) 2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．(数学运算、逻辑推理) (1)图①和图②分别是偶函数和奇函数的一部分图象，你能结合奇、偶函数图象的特征画出相应图象的另一部分吗？ 图①　　　　　　图② (2)就图①而言，函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上的单调性是否相同？就图②而言，函数在区间与上的单调性是否相同？ 知识点1　函数的单调性与奇偶性 (1)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f (x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同． (2)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f (x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反． 知识点2　函数f (x)，g(x)在公共定义域上有下列结论 f (x) g(x) f (x)＋g(x) f (x)－g(x) f (x)g(x) f (g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 注意：f (g(x))中，t＝g(x)与y＝f (t)的定义域可以不同． 1．定义在R上的偶函数f (x)在(0，＋∞)上是增函数，则f (－4)，f (－π)，f (3)的大小关系为_____．(用“<”表示) f (3)＜f (－π)＜f (－4)　[∵f (x)是定义在R上的偶函数， ∴f (－π)＝f (π)，f (－4)＝f (4)， 又f (x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π＜4， ∴f (3)＜f (π)＜f (4)， 即f (3)＜f (－π)＜f (－4)．] 2．已知偶函数f (x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f (x)·g(x)<0的解集是_____． (－4，－2)∪(0，2)　[设h(x)＝f (x)g(x)， 则h(－x)＝f (－x)g(－x)＝－f (x)g(x)＝－h(x)， 所以h(x)是奇函数， 由图象可知：当－40，g(x)<0，即h(x)<0， 当00，即h(x)<0， 所以h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2)．] 类型1　利用函数奇偶性求解析式 【例1】　(1)函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f (x)＝－x＋1，求f (x)的解析式． (2)设f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝，求函数f (x)，g(x)的解析式． [解]　(1)设x<0，则－x>0， ∴f (－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数f (x)是定义域为R的奇函数， ∴f (－x)＝－f (x)＝x＋1， ∴当x<0时，f (x)＝－x－1． 又x＝0时，f (0)＝0， ∴f (x)＝ (2)∵f (x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)． 由f (x)＋g(x)＝，① 得f (－x)＋g(－x)＝， ∴f (x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f (x)＝； (①－②)÷2，得g(x)＝． 　利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式． (3)利用f (x)的奇偶性写出－f (x)或f (－x)，从而解出f (x)． 提醒：若函数f (x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，未必有f (0)＝0． [跟进训练] 1．已知函数f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f (x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝_____． －x－x4　[当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)， ∴f (－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4， 又∵f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴f (x)＝f (－x)＝－x－x4．] 类型2　利用单调性与奇偶性比较大小 【例2】　已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，且在区间[0，2]上单调递增，则(　　) A．f (－1)