1.2.3 直线与平面的夹角 ———高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练 1.在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为( ) A. B. C. D. 2.直线l与平面所成的角是，若直线l在内的射影与内的直线m所成的角是，则l与m所成的角是( ) A. B. C. D. 3.正三棱锥的所有棱长都相等，则侧棱与底面所成的角的正切值是( ) A. B. C. D. 4.设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n.若，则直线l与平面所成的角为( ) A. B. C. D. 5.已知空间向量，平面的一个法向量，则直线AB与平面所成角为( ) A. B. C.或 D.或 6.在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 7.在直三棱柱中，为等边三角形，，M是的中点，则AM与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 8.已知四棱锥的底面为矩形，平面，，，直线PD与平面PAC所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为( ) A.4 B. C. D.8 9.（多选）在正方体中，下列说法正确的是( ) A. B. C.与平面所成的角为 D.与平面ABCD所成的角为 10.（多选）已知正方体中，E，F分别为，的中点，则( ) A.直线BE与所成角为 B.直线与所成角为 C.直线与平面所成角为 D.直线与平面BFD所成角的正弦值为 11.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面的法向量.若，则l与所成角的大小为_____. 12.如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，则直线与平面所成角的正弦值为_____. 13.已知正方体的棱长为4，M在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为_____. 14.某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷.将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）.该四棱锥底面ABCD是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为_____. 15.如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，. （1）求证：平面ABCD； （2）求直线BD与平面BPC所成角的正弦值. 答案以及解析 1.答案：A 解析：设直线l与平面所成的角为，则，所以.故选A. 2.答案：C 解析：由题意，，.由，得，.故选C. 3.答案：B 解析：设正三棱锥的底面正三角形BCD的中心为O，棱长为a，则就是侧棱AC与底面BCD所成的角，计算得. 4.答案：A 解析：由题意，设直线l与平面所成的角为，则.由，得.故选A. 5.答案：A 解析：设直线AB与平面所成角为，则，又，所以，即直线AB与平面所成角为. 6.答案：D 解析：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. 设平面的法向量为， 则得平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则.故选D. 7.答案：B 解析：如图所示，取AC的中点D，连接DM，BD，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 不妨设，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则即取，则，，所以. 设AM与平面所成角为，向量与n所成的角为，所以，即AM与平面所成角的正弦值为.故选B. 8.答案：B 解析：因为平面，平面ABCD，所以，，又，所以以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，所以，.设平面PAC的法向量为，则取，得.又，与平面PAC所成角的正弦值为，所以，解得或（舍去），则，所以. 9.答案：ABD 解析：对A选项，连接，如图①，，，，，，，四边形为平行四边形，.，，故A正确. 对B选项，由题可得平面，.又，平面，平面，又平面，，故B正确. 对C选项，连接BD，交AC于点O，连接，如图②. 底面，平面ABCD，.，，平面，平面. 与平面所成的角为.设正方体的棱长为1，则，，.，，故C错误. 对D选项，底面，与平面ABCD所成的角为.易知为等腰直角三角形，，故D正确.故选ABD. 10 ... ...
