2.7.2 抛物线的几何性质——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

2.7.2 抛物线的几何性质 ———高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练 1.已知抛物线的焦点为F，抛物线C上一点到焦点F的距离为，则p的值为( ) A.2 B.1 C. D. 2.已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则点M的纵坐标为( ) A. B.4 C. D. 3.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点.如果，那么( ) A.6 B.8 C.9 D.10 4.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 5.已知F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点.若，则线段AB的中点M到直线的距离为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 6.F是抛物线的焦点，A，B是抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为( ) A.4 B. C.3 D. 7.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧.若，则等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的斜率为( ) A. B. C. D. 9.（多选）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线C上，若，则( ) A.F的坐标为 B. C. D.以MF为直径的圆与x轴相切 10.（多选）在平面直角坐标系xOy中，点F是抛物线的焦点，点，在抛物线C上，则下列结论正确的是( ) A.C的准线方程为 B. C. D. 11.已知F是抛物线的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点.若，则与的比值等于_____. 12.抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作x轴的平行线交y轴于点M，抛物线的准线交x轴于点N，四边形PMNF为平行四边形，则点P到x轴的距离为_____.（用含p的代数式表示） 13.一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是坐标原点.若这个三角形的面积为，则_____. 14.已知抛物线的弦AB过它的焦点，直线AB的斜率为1，则弦AB的长为_____. 15.已知抛物线. （1）设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离； （2）设点A的坐标为，求抛物线上的点到点A的距离的最小值d，并写出的函数表达式. 答案以及解析 1.答案：C 解析：根据题意可得，解得.故选C. 2.答案：C 解析：由题意得抛物线的焦点.由M是FN的中点，可知点M的横坐标为1，则点M的纵坐标为，故选C. 3.答案：B 解析：由题意知，抛物线的焦点为. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，. 又，.故选B. 4.答案：B 解析：由抛物线的性质知，当焦点弦与x轴垂直时，焦点弦最短，焦点弦的最短弦长为4，这样的直线有两条. 5.答案：B 解析：如图，抛物线的焦点为，准线为直线，即. 过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，则有.过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC的中位线，则，即点M到准线的距离为4.故选B. 6.答案：D 解析：抛物线的焦点，准线方程为. 设，，根据抛物线的定义得，所以，所以线段AB中点的横坐标为，所以线段AB的中点到y轴的距离为.故选D. 7.答案：C 解析：方法一：抛物线的焦点，准线，设准线l与x轴交于点H，过点A，B分别作，，垂足分别为D，E. 由抛物线的定义可知，，，又，则，则，故，又，，则. 又直线AB的方程为，联立整理得，则， 由抛物线的性质可知，，， ，故选C. 方法二：由得直线AB的倾斜角为，所以，故选C. 8.答案：C 解析：方法一：由题意得，因为，所以，设，，则.当直线l的斜率为0时，直线l与抛物线只有1个交点，不符合题意； 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，与抛物线方程联立，得，则，，因为，故，，所以，解得，故直线l的斜率为.故选C. 方法二：由题意得，因为，所以.直线l过抛物线的焦点F，设直线l的倾斜角为.当为锐角时，，，联立，解得.又因为，所以.同理，当为钝角时，，.所以直线l的斜率，故选C. 方法三：因为，即点F是AB中靠近点B的三等分点， ... ...