阶段专项提分练五　锐角三角函数（原卷+答案） 2024-2025学年数学湘教版九年级上册

阶段专项提分练五 锐角三角函数 正弦 【典例1】如图所示,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则sin∠AOB的值是 　. 【变式1】在正方形网格中,小正方形的边长均为1,∠ABC如图放置,则sin∠ABC的值为(B) A. B. C. D.1 【变式2】如图,是由边长为1的正三角形组成的网格,则sin∠AOB= 　. 【变式3】如图,△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上,则sin∠BAC= 　. 余弦 【典例2】如图,在△ABC中,BD⊥AC,AB=6,AC=5,∠A=30° (1)求AD; (2)求cosC. 【自主解答】(1)在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,AB=6,∠A=30°,∴BD=AB=3, 在Rt△ABD中,根据勾股定理得:AD==3; (2)∵AC=5,AD=3,∴CD=AC-AD=2,在Rt△CBD中, ∵∠CDB=90°,BD=3,CD=2,∴BC==,∴cosC===. 【变式】(2024·黔东南州从江县质检)在△ABC中,∠C=90°,BC=24 cm,cos A=,求这个三角形的周长. 【解析】可设AC=5x cm,AB=13x cm, 则BC=12x cm,由12x=24得x=2, ∴AB=26 cm,AC=10 cm, ∴△ABC的周长为10+24+26=60(cm). 正切 【典例3】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,tanA=,AD=20.求BC的长. 【自主解答】∵tanA=,∴∠A=30°,∴∠ABC=60°,又∵BD平分∠ABC,AD=20, ∴∠A=∠ABD=∠CBD=30°, ∴AD=BD=20,∴DC=10, 即AC=AD+DC=30,又∵tanA=, ∴BC=AC·tanA=30×=10 . 即BC的长为10 . 【变式1】(2024·安顺镇宁县期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AB=10,AC=8. (1)求tan A的值; (2)设∠BCD=∠α,求tan α的值. 【解析】(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,根据勾股定理得,BC=6, ∴tan A===; (2)∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠BCD=∠A,tan α=tan A===. 【变式2】如图,在△ABC中,AD是BC上的高,tan∠B=cos∠DAC. (1)求证:AC=BD; (2)若sin∠C=,BC=12,求AD的长. 【解析】(1)∵AD是BC上的高, ∴AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°, 在Rt△ABD和Rt△ADC中, ∵tan∠B=,cos∠DAC=, 又∵tan∠B=cos∠DAC, ∴=,∴AC=BD. (2)在Rt△ADC中,sin∠C=, 故可设AD=12k,AC=13k, ∴CD==5k, ∵BC=BD+CD,AC=BD, ∴BC=AC+CD=13k+5k=18k, ∵BC=12,∴18k=12,∴k=, ∴AD=12k=12×=8. 拓展:新定义问题 【典例4】如图,定义:在直角三角形ABC中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作cotα,即cotα==.根据上述角的余切定义,解下列问题: (1)cot30°=　　　　; (2)如图,已知tanA=,其中∠A为锐角,试求cotA的值. 【自主解答】(1)∵Rt△ABC中,α=30°, ∴BC=AB,即AB=2BC,∴AC===BC, ∴cot30°==. (2)∵tanA==, ∴设BC=3k,AC=4k, ∴cotA===. 【变式】定义一种运算:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β. 例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)=×+×=,则sin 15°的值为 　. 阶段专项提分练五 锐角三角函数 正弦 【典例1】如图所示,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则sin∠AOB的值是 . 【变式1】在正方形网格中,小正方形的边长均为1,∠ABC如图放置,则sin∠ABC的值为( ) A. B. C. D.1 【变式2】如图,是由边长为1的正三角形组成的网格,则sin∠AOB= . 【变式3】如图,△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上,则sin∠BAC= 　. 余弦 【典例2】如图,在△ABC中,BD⊥AC,AB=6,AC=5,∠A=30° (1)求AD; (2)求cosC. 【变式】(2024·黔东南州从江县质检)在△ABC中,∠C=90°,BC=24 cm,cos A=,求这个三角形的周长. 正切 【典例3】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,tanA=,AD=20.求BC的长. 【变式1】(2024·安顺镇宁县期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AB=10,AC=8. (1)求tan A的值; (2)设∠BCD=∠α,求tan α的值. 【变式2】如图,在△ABC中,AD是BC上的高,tan∠B=cos∠DAC. (1)求证:AC=BD; (2)若sin∠C=,BC=12,求AD的长. 拓展:新定义问题 【典例4】如图,定义:在直角三角形ABC ... ...