人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题13.5等边三角形【十大题型】(学生版+解析)

专题13.5 等边三角形【十大题型】 【人教版】 【题型1 利用等边三角形的性质求角的度数】 1 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】 2 【题型3 利用等边三角形的性质求最值】 3 【题型4 证明等边三角形】 4 【题型5 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 6 【题型6 探究等边三角形中的折叠问题】 8 【题型7 探究等边三角形中的三角板问题】 9 【题型8 探究等边三角形中的动态问题】 11 【题型9 探究等边三角形中线段或角度之间的关系】 12 【题型10 等边三角形中的多结论问题判断正误】 14 知识点：等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型1 利用等边三角形的性质求角的度数】 【例1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为等边三角形内一点，，，，则 度． 【变式1-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）等边三角形两条中线相交所成锐角度数为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，是等边三角形，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级·辽宁本溪·期中）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ． 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】 【例2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若使点恰好落在上，则线段的长是（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2-1】（23-24八年级·河南漯河·期末）如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（ ） A． B．1 C．2 D．不确 【变式2-2】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，等边的边长为，点、分别在边、上，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ． 【变式2-3】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，过边长为4的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（ ） A． B．2 C． D． 【题型3 利用等边三角形的性质求最值】 【例3】（2024·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ． 【变式3-1】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-2】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是 ． 【变式3-3】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在中，，，，点是边上的中点，点在BC上的一个动点，连接，在的下方作等边三角形，连接，则最小值是（ ） A． B． C． D． 【题型4 证明等边三角形】 【例4】（23-24八年级·天津宁河·期中）如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 【变式4-1】（23-24八年级·重庆丰都·期末）如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 【变式4-2】（23-24八年级·广东广州·阶段练习）在等腰中，，，于，点、点分别在射线、上运动，且保证，连接． (1)当点运动到点时，如图，求的长度； (2)当点运动到点时，如图，试判断的形状并证明； (3)当点在射线其它地方运动时，还满足（2）的结论吗？请用图说明理由． 【变式4-3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，与相交于点E，． (1)填空：与的 ... ...