5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 周期性与奇偶性 [学习目标] 1.理解周期函数的概念,能熟练地求出简单三角函数的周期.(重点)2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性,能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.(难点) 导语 同学们,在生活中,大家知道月亮圆了又缺,缺了又圆,这一周而复始的自然现象,有诗为证:“昨夜圆非今夜圆,却疑圆处减婵娟,一年十二度圆缺,能得几多时少年”,从诗中,我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理,告诫人们要珍惜时光,努力学习.我们知道,从角到角的三角函数值都有周而复始的现象,你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗 有了前面的三角函数的图象,今天我们来一起探究三角函数的一些性质. 一、正弦函数、余弦函数的周期 问题1 正弦函数、余弦函数的图象有什么特点 提示 能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律.我们可以从两个方面来验证这种特点:①函数的图象,回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法,我们是先画出[0,2π]上的函数图象,然后每次向左(右)平移2π个单位长度得到整个定义域上的函数图象.②诱导公式一,sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,对任意的k∈Z都成立. 知识梳理 1.函数的周期性 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 3.正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π. 4.余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π. 注意点: (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立. (2)周期函数的周期不唯一,任何T的非零整数倍都是函数的周期. (3)三角函数的周期是函数的整体性质,我们在研究函数时,只需研究一个周期上的图象和性质即可. (4)若不加特殊说明,一般求三角函数的周期的问题,求的是函数的最小正周期. 例1 求下列三角函数的周期: (1)y=7sin x,x∈R; (2)y=sin 2x,x∈R; (3)y=sin,x∈R; (4)y=|cos x|,x∈R. 解 (1)因为7sin(x+2π)=7sin x,由周期函数的定义知,y=7sin x的周期为2π. (2)因为sin 2(x+π)=sin(2x+2π)=sin 2x,由周期函数的定义知,y=sin 2x的周期为π. (3)因为sin=sin=sin,由周期函数的定义知,y=sin的周期为6π. (4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示. 由图象可知,y=|cos x|的周期为π. 反思感悟 求三角函数周期的方法 (1)定义法:利用周期函数的定义求解. (2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=. (3)图象法:画出函数图象,通过图象直接观察即可. 跟踪训练1 求下列三角函数的最小正周期: (1)y=|sin x|; (2)y=cos πx; (3)y=3sin; (4)y=2cos. 解 (1)由f(x)=|sin x|,f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x), 得y=|sin x|的最小正周期为π(或通过图象判断). (2)由y=cos πx,得T===2. (3)由y=3sin,得T===4π. (4)由y=2cos,得T===π. 二、正弦函数、余弦函数的奇偶性 问题2 继续回顾正弦函数、余弦函数的图象,你还能发现什么特点 提示 正弦函数的图象关于原点对称,余弦函数的图象关于y轴对称. 知识梳理 正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数. 例2 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=sin; (2)f(x)=|sin x|+cos x; (3)f(x)=x2cos. 解 (1)f(x)=sin=-cosx,x∈R. 因为 x∈R,都有-x∈R, 又f(-x)=-cos=-cosx=f(x), 所以函数f(x)=sin是偶函数. (2)函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R, 因为 x∈R,都有-x∈R, 又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f ... ...
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