2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷（含答案）

2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷 一、填空题：本题共12小题，共60分。 1.已知是关于的方程的根当时， _____， _____． 2.已知实数，，满足，则的最小值为_____，此时 _____． 3.对实数，，定义运算“”为：已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是_____；若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是_____． 4.如图，是半圆的直径，弦，相交于点，，是的中点，则 _____． 5.记若，则 _____． 6.若一条直线过的内心，且平分的周长，则该直线分所成的两个图形的面积之比为_____． 7.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙在个小伙子中，如果某人不亚于其他人，就称他为棒小伙子，那么个小伙子中的棒小伙子最多可能有_____人 8.如果直角三角形的三边都是以内的正整数，且较长的两边长相差，那么这样的直角三角形有_____个 9.用表示自然数的数字和，例如：，若对任意自然数，都有，则满足这个条件的最大的两位整数的值是_____． 10.把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃、红桃、方块、梅花、黑桃、红桃、方块、梅花，、黑桃、红桃、方块、梅花的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤：把整叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤：把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面，再执行步骤，再执行步骤，，步骤和步骤依次执行直至整叠牌只剩下一张，则最后剩下的这张牌是_____． 11.若实数，满足，则的取值范围为_____． 12.已知，若关于的方程与都有解，且两个方程的解完全相同，则实数的取值范围是_____． 二、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 已知函数在时有最大值． 求实数，的值； 设，若当时，的最小值为，最大值为，求，的值． 14.本小题分 如图，在中，是边上的高，为上一点，连结并延长交于，连结并延长交于求证：． 15.本小题分 设，已知关于的方程． 若方程有实根，求证：，，不能成为一个三角形的三条边长； 若方程有实根，求证：； 当方程的两个实根分别为，时，求正整数，，的值． 16.本小题分 如果有理数可以表示成其中、是任意有理数的形式，我们就称为“世博数”． 两个“世博数”、之积也是“世博数”吗？为什么？ 证明：两个“世博数”、之商也是“世博数”． 参考答案 1.或 2. 3. 4. 5. 6.： 7. 8. 9. 10.红桃 11. 12. 13.解：时函数有最大值， ， ， 又时有最大值，代入得， ， 故，． ， ， 又， ， ． ， ， ， 、是关于的方程的两个根， ， 或或， ， ，． 14.证明：如图，过作的平行线，分别交、、、的延长线于点、、、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，点、在直线上， ， ， ，又， ≌， ，即． 15.解：由方程有实根得，即， 由，得，即所以，，，不能成为一个三角形的三边．设，则，，且由知，所以二次方程的实根都在与之间，即由根与系数关系有，，得． 由知，故得， ． ，， 由， 解得，，，，． 16.解：，其中、是有理数， “世博数”其中、是任意有理数，只须，即可．分 对于任意的两个两个“世博数”、，不妨设，，其中、、、为任意给定的有理数，分则 是“世博数”；分 分 也是“世博数”分 第1页，共1页 ... ...