2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷 一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.若，且，则 _____． 2. _____． 3.已知正实数，，满足，则的最小值为_____． 4.已知函数，当时，有最大值，则的值为_____． 5.已知中，上的一点，，，则的最大值为_____． 6.若点为线段中点，，且，，，，则 ____． 7.如图，在中，，分别在，上，连结交于，若，， ，，共线，的面积为，则的面积为_____． 8.已知整数，，满足，则的最小值为_____． 9.已知，，是大于的正整数，且为整数，则 ___． 10.已知、为圆的两条切线，连结交圆于点，若，， ，则 _____． 二、解答题：本题共2小题，共16分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分 已知，矩形的，顶点分别在轴，轴上，反比例函数与矩形的，分别交于，，的面积为． 判断并证明直线与的关系． 求的值． 若，分别为直线和反比例函数上的动点，为中点，求的最小值． 12.本小题分 如图，在中，，是垂心，是外心，延长交于，于． 求证：． 证明：，，，四点共圆． 若，求． 参考答案 1. 2. 3. 4.或 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.解：如图， ，理由如下： 由题意得， ，， ，， ，， ， ， ， ∽， ， ； 如图， 作于， ， ， ， ， ，舍去， ； 如图， 取点，， 则直线与直线关于对称， 连接，并延长交于，连接， 则， 是的中点， ， 当最小时，最小， 作直线，交轴与，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于，作， 则的最小值是的长， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 由整理得，， ， ，舍去， ， ， ，，， ， ， ， ． 12.解：根据题意，以为圆心，为半径作圆，延长交圆于点，延长交于点，连接，，，， 是直径， ，， 为垂心， ，，， ，， 是平行四边形， ， ，， ， ， 设半径为，， ， 又， ； 为垂心， ，，， ， ， ， ，， 、、、四点共圆； 设， ， ， 在直角中，，，， ，， ， 在直角中，， 即：， 在直角中，， 即：， ， ， 在中，， 即：， ， 或舍去， ． 第1页，共1页
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