2024-2025学年北师大版选择性必修第一册单元测试：第三章 空间向量与立体几何（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024-2025学年北师大版选择性必修第一册单元测试：第三章 空间向量与立体几何 一、选择题 1．如图,在正方体中,,,则下列结论中正确的是( ) A.平面 B.平面平面 C.平面 D.平面内存在与EF平行的直线 2．在正三棱柱中,,,O为BC的中点,M,N分别为线段,AM上的动点,且,则线段MN的长度的取值范围为( ) A. B. C. D. 3．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线，所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 4．在直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 5．已知，，，若平面的一个法向量为，则( ) A. B. C. D. 6．在空间直角坐标系中,已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为,,,则点D的坐标为( ) A. B. C. D. 7．在棱柱中,( ) A. B. C. D. 8．在长方体中,,,E为的中点,则点A到平面的距离为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．在空间直角坐标系中，已知向量，，以下各组值中能使得的是( ) A.， B.， C.， D.， 10．正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点O，则( ) A. B. C. D. 11．下列命题错误的是( ) A.若，则a与b共线 B.若，则 C.若，则 D.若，则a与b不共线 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与所成角的余弦值为_____. 13．已知空间三点，，，则在上的投影向量的模是_____. 14．如图，四边形是正方形，平面，且，M是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为_____. 四、解答题 15．如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，O是BC的中点，. （1）证明：平面平面BCD. （2）若点E是棱AC上的一点，则从①，②二面角的大小为，③三棱锥的体积为这三个论断中选取两个作为条件，证明另外一个成立. 16．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，. （1）证明：. （2）当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 17．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的一点.若平面PAC，问：侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18．如图，四边形ABCD为矩形，平面，，，M，N分别是PC，AB的中点，请选择适当的坐标系证明平面PCD. 19．如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 参考答案 1．答案：C 解析：因为为正方体,设正方体边长为2, 以为原点,为x轴,为y轴,为z轴建立空间直角坐标系, 则,,,,,,, 设平面的法向量为, 则,,令,则, 同理解得平面的法向量, ,,故A不正确; ,故B不正确; ,,, ,,所以,, 又,所以平面,C正确; 平面的一个法向量为, ,故D不正确; 故选:C 2．答案：D 解析：取的中点Q,连接OQ,如图,以O为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则,,,. 因为M是棱上一动点,设,且, 所以,. 因为,所以. 令,,则,.又函数在上为增函数,所以线段MN的长度的取值范围为. 3．答案：C 解析：取的中点O，连接， 四边形为的菱形，所以， 由于平面平面，且两平面交线为，，平面， 故平面，又四边形为正方形，故建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方形的边长为2，则，，，， 故，， 则，又 故， 故直线，所成角的正弦值， 故选：C 4．答案：C 解析：由题意可知,,,三线两两垂直,所以可建立空间直角坐标系,如图所示： 则,,,． ,． ． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 5．答案：C 解析：由，，得： ，， 面的一个法向量为， 所以，， 即，， 解得，， 所以， 故选：C. 6．答案：A 解析：不妨设,由题意可知,所以, 所以,解得,所以点D的坐标为.故选A. 7．答案：B 解析:, 故选:B. 8．答案：D 解析：如图,以A为坐标原点,以AB,AD,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 所以,,,,则,,设是平面的一个法向量,则令,则,又,所以点A到平面的距离为.故选 ... ...