4.1.1 实数指数幂及其运算（教案+学案）高中数学 人教B版 必修第二册

4.1.1　实数指数幂及其运算 [学习目标]　1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.3.掌握根式与分数指数幂的互化.4.掌握有理数指数幂的运算性质. 导语 古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢 他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数来表示,希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生,这就是本节课我们要学习的根式. 一、n次方根 问题1　若x2=3,这样的x有几个 它们叫做3的什么 怎样表示 提示　这样的x有2个,它们叫做3的平方根,表示为,-. 问题2　如果x2=a,那么x叫做a的什么 这样的x有几个 x3=a呢 提示　如果x2=a,那么x叫做a的平方根(或二次方根),当a>0时,这样的x有两个;当a=0时,a只有一个平方根;当a<0时,a在实数范围内没有平方根.如果x3=a,那么x叫做a的立方根(或三次方根),这样的x有且只有一个. 问题3　类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根的定义,你认为n次方根应该是什么 提示　比如(±2)4=16,我们把±2叫做16的4次方根;(±3)4=81,我们把±3叫做81的4次方根;(-2)5=-32,我们把-2叫做-32的5次方根;类比上述过程,我们可以得到:如果2n=a,那么我们把2叫做a的n次方根. 知识梳理 1.a的n次方根的概念 一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x称为a的n次方根. 2.根式的意义和性质 当有意义的时候,称为根式,n称为根指数,a称为被开方数. 根式的性质: (1)()n=a. (2)= 注意点: (1)对于()n=a,若n为奇数,则a∈R;若n为偶数,则a≥0. (2)()n与意义不同,比如=-3,=3,而没有意义,故()n≠. (3)当a≥0时,()n=;当a<0且n为奇数时,()n=;当a<0且n为偶数时,对于要注意运算次序. 例1　(1)化简下列各式: ①+()5; ②+()6; ③. 解　①原式=(-2)+(-2)=-4. ②原式=|-2|+2=2+2=4. ③原式=|x+2|= (2)已知-30,是否也可以表示为分数指数幂的形式 如何表示 提示　======. 问题5　根据所学知识,猜测23,2π,24之间的大小关系. 提示　23<2π<24. 知识梳理 1.分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 当a>0时,规定==()m= 负分数指数幂 当a>0时,规定=(n,m∈N+) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 2.有理数指数幂的运算法则 (1)asat=as+t(a>0,s,t∈Q); (2)(as)t=ast(a>0,s,t∈Q); (3)(ab)s=asbs(a>0,b>0,s∈Q). 拓展:(1)=as-t(a>0,s,t∈Q). (2)=(a>0,b>0,s∈Q). 3.实数指数幂 一般地,当a>0且t是无理数时,at都是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.因此当a>0,t为任意实数时,实数指数幂at都有意义,对任意实数s和t,类似有理数指数幂的运算法则仍然成立. 注意点: (1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数. 例2　(1)若(x-2有意义,则实数x的取值范围是 (　　) A.[2,+∞) B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.(-∞,2) 答案　C 解析　由负分数指数幂的意义可知, (x-2=, 所以x- ... ...