习题课 指数函数的综合问题 [学习目标] 1.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断.2.掌握指数函数在现实生活中的应用. 3.掌握指数函数的综合性问题. 一、指数型函数的单调性 例1 (1)求函数y=的单调区间; (2)求函数y=-8·+17的单调区间. 解 (1)y=的定义域为R. 令μ=x2-6x+17,y=在R上是减函数, 在(-∞,3)上,μ=x2-6x+17是减函数, 所以y=在(-∞,3)上是增函数. 在(3,+∞)上,μ=x2-6x+17是增函数, 所以y=在(3,+∞)上是减函数. 所以y=的单调递增区间是(-∞,3),单调递减区间是(3,+∞). (2)y=-8·+17的定义域为R, 设t=,t>0,所以y=t2-8t+17, 又y=t2-8t+17在(0,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增.令<4,解得x>-2. 所以当-2
>, 即4>t1>t2,所以-8t1+17<-8t2+17. 所以y=-8·+17的单调递增区间是(-2,+∞). 同理可得单调递减区间是(-∞,-2). 反思感悟 函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单调性的处理方法 (1)关于指数型函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是00且a≠1); (2)y=. 解 (1)易知y=(a>0且a≠1)的定义域为R,设y=au,u=x2+2x-3, 由u=x2+2x-3=(x+1)2-4, 得u在(-∞,-1)上为减函数,在(-1,+∞)上为增函数. 当a>1时,y关于u为增函数; 当01时,原函数的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1); 当0