5.1.4 用样本估计总体 [学习目标] 1.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差.2.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并做出合理的解释.3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征. 导语 同学们,你们想拥有一个健康的体魄吗 拥有健康的体魄是我们学习和生活的基础,为了提高大家的体质健康水平,教育部决定,在全国范围内开展“全国亿万青少年学生阳光体育运动”,使大部分学生能做到每天锻炼一小时,我们在座的同学达到目标了吗 我校的同学达到这个标准了吗 一、用样本的数字特征估计总体的数字特征 知识梳理 1.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)一般情况下,如果样本的容量恰当,抽样方法又合理的话,样本的特征能够反映总体的特征.特别地,样本平均数(也称为样本均值)、方差(也称为样本方差)与总体对应的值相差不会太大. (2)在容许一定误差存在的前提下,可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征,这样就能节省人力和物力等. 另外,有时候总体的数字特征不可能获得,此时只能用样本的数字特征去估计总体的数字特征. 2.众数、中位数、平均数 众数 在频率分布直方图中,众数是最高小矩形的中点所对应的数据 中位数 (1)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等,由此可以估计中位数的值,但是有偏差 (2)表示样本数据所占频率的等分线 平均数 (1)在频率分布直方图中,平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点 注意点: (1)利用随机抽样得到样本,从样本数据得到的分布、平均数和标准差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体真正的分布、平均数和标准差,而只是总体的一个估计,但这个估计是合理的,特别是当样本容量很大时,它们确实反映了总体的信息. (2)一般地,平均数反映的是样本个体的平均水平,众数和中位数则反映样本中个体的“重心”,而标准差则反映了样本的波动程度、离散程度,即均衡性、稳定性、差异性等.因此,我们可以根据问题的需要选择用样本的不同数字特征来分析问题.一般来说,在估计总体的数字特征时,只需直接算出样本对应的数字特征即可. 例1 甲、乙两人在相同条件下各打靶10次,每次打靶的成绩情况如图所示. (1)填写下表; 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析: ①从平均数和方差结合分析偏离程度; ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些; ③从平均数和命中9环及以上的次数相结合看谁的成绩好些; ④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 解 (1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,所以=×(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7;乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,所以中位数是=7.5;甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示. 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 (2)①甲、乙的平均数相同,均为7,但<,说明甲偏离平均数的程度小,而乙偏离平均数的程度大. ②甲、乙的平均数相同,而乙的中位数比甲大,说明乙射靶成绩比甲好. ③甲、乙的平均数相同,而乙命中9环及以上的次数比甲多2次,可知乙的射靶成绩比甲好. ④从折线图上看,乙的成绩呈上升趋势,而甲的成绩在平均线上波动不大,说明乙的状态在提升,更有潜力. 反思感悟 在日常生活中,当面对一组数据时,相比每一个观测值,有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值,例如上述数据,我们可以从平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差、标准差等角度进行比较. 跟踪训练1 某西餐厅推出了以下线上促销活动. A套餐(在下列食品 ... ...
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