5.3.5 随机事件的独立性 [学习目标] 1.理解相互独立事件的定义及意义.2.理解相互独立事件的充要条件.3.掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题. 导语 我们知道,积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此,积事件AB发生的概率一定与事件A,B发生的概率有关.那么,这种关系会是怎样的呢 一、相互独立事件的概念与判断 问题 分别抛掷两枚质地均匀的硬币,A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币反面朝上”.计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现 提示 用1表示硬币“正面朝上”,用0表示硬币“反面朝上”,则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率公式,得 P(A)=P(B)=,P(AB)=. 于是P(AB)=P(A)P(B). 知识梳理 相互独立事件的概念与性质 (1)定义:一般地,设A,B为两个事件,当P(AB)=P(A)P(B)时,就称事件A与B相互独立(简称独立). (2)性质:如果事件A与B相互独立,则与B,A与与也相互独立. (3)n个事件相互独立 对于n个事件“A1,A2,…,An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”. 注意点: 两个事件相互独立与互斥的区别:两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 例1 一个不透明的口袋内装有大小相同,颜色分别为红、黄、蓝的3个球. (1)记事件A=“从口袋内有放回地抽取2个球,第一次抽到红球”,B=“从口袋内有放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”; (2)记事件A=“从口袋内不放回地抽取2个球,第一次抽到红球”,B=“从口袋内不放回地抽取2个球,第二次抽到黄球”. 试分别判断(1)(2)中的A,B是否为相互独立事件. 解 (1)有放回地抽取小球,事件A是否发生对事件B是否发生没有影响,它们是相互独立事件. (2)不放回地抽取小球,记红、黄、蓝球的号码分别为1,2,3,则样本空间为 Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},共6个样本点, A={(1,2),(1,3)},B={(1,2),(3,2)}. 因为P(A)==,P(B)==,P(AB)=,P(AB)≠P(A)P(B), 所以A,B不是相互独立事件. 反思感悟 判断两事件是否相互独立的方法 (1)直观法:利用事件所包含基本事件直接判断两个事件的发生是否相互影响. (2)公式法:若事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立. 跟踪训练1 (多选)下面所给出的事件中,M与N相互独立的是 ( ) A.抛掷一枚骰子,事件M={出现1点},事件N={出现2点} B.先后抛掷两枚质地均匀的硬币,事件M={第一枚出现正面},事件N={第二枚出现反面} C.在装有2红1绿三个形状、大小相同的小球的口袋中,任取一个小球,观察颜色后放回袋中,事件M={第一次取到绿球},N={第二次取到绿球} D.某射手射击一次,事件M={击中靶心},事件N={未击中靶心} 答案 BC 解析 A中事件M与N是互斥事件,∴M与N不是相互独立事件; B中第一枚出现正面还是反面,对第二枚出现反面没有影响,∴M与N相互独立; C中由于每次取球观察颜色后放回,故事件M的发生对事件N发生的概率没有影响,∴M与N相互独立; D中M与N是互斥事件且是对立事件,∴M与N不是相互独立事件. 二、相互独立事件概率的求法 知识梳理 相互独立事件的概率公式 (1)若事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B); (2)若事件A1,A2,…,An相互独立,则P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An). 例2 根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率; (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率. 解 记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与与B,与都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6. (1)记 ... ...
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